Nullraum Rechner – Matrix-Kern-Finder
Finden Sie den Nullraum und Kern jeder Matrix.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Legen Sie die Anzahl der Zeilen und Spalten für Ihre Matrix fest
- Geben Sie die Matrixwerte in jede Zelle ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um den Nullraum zu finden
- Sehen Sie die Basisvektoren, Dimension und RREF
Was ist der Nullraum?
Der Nullraum (oder Kern) einer Matrix A ist die Menge aller Vektoren x, sodass Ax = 0. Es ist ein Unterraum des Definitionsbereichs, der unter der durch A dargestellten linearen Abbildung auf den Nullvektor abgebildet wird.
Der Nullraum wird als N(A) oder ker(A) bezeichnet, und seine Dimension wird Nullität der Matrix genannt.
Wie Man den Nullraum Findet
Um den Nullraum zu finden:
- Reduzieren Sie die Matrix auf Reduzierte Zeilenstufenform (RREF)
- Identifizieren Sie Pivotspalten (führende Einsen) und freie Spalten
- Drücken Sie Pivotvariablen durch freie Variablen aus
- Schreiben Sie die allgemeine Lösung als Linearkombination der Basisvektoren
Rang-Nullitäts-Satz
Der Rang-Nullitäts-Satz besagt, dass für eine m×n Matrix A gilt: Rang(A) + Nullität(A) = n, wobei n die Anzahl der Spalten ist.
- Rang = Anzahl der Pivotspalten = Dimension des Spaltenraums
- Nullität = Anzahl der freien Variablen = Dimension des Nullraums
- Wenn Nullität = 0, ist die einzige Lösung von Ax = 0 gleich x = 0
Anwendungen
Der Nullraum hat viele Anwendungen:
- Lösen homogener Systeme linearer Gleichungen
- Finden der allgemeinen Lösung von Ax = b
- Bestimmen der linearen Unabhängigkeit von Vektoren
- Verstehen linearer Abbildungen
- Computergrafik und Datenkompression
Häufig gestellte Fragen
- Was bedeutet ein trivialer Nullraum?
- Ein trivialer Nullraum enthält nur den Nullvektor, was Nullität = 0 bedeutet. Dies tritt auf, wenn die Matrix vollen Spaltenrang hat, und die einzige Lösung von Ax = 0 ist x = 0.
- Wie hängen freie Variablen mit dem Nullraum zusammen?
- Freie Variablen entsprechen Nicht-Pivotspalten in der RREF. Jede freie Variable trägt eine Dimension zum Nullraum bei, und die Anzahl der freien Variablen entspricht der Nullität.
- Was ist der Unterschied zwischen Nullraum und Spaltenraum?
- Der Nullraum ist die Menge der Vektoren x, wo Ax = 0 (im Definitionsbereich). Der Spaltenraum ist die Menge aller möglichen Ausgaben Ax (im Wertebereich). Sie sind in bestimmten Kontexten orthogonale Komplemente.
- Kann eine quadratische Matrix einen nicht-trivialen Nullraum haben?
- Ja, wenn die quadratische Matrix singulär ist (Determinante = 0). Ein nicht-trivialer Nullraum bedeutet, dass die Matrix nicht invertierbar ist und linear abhängige Spalten hat.