Orthogonale Basis Rechner – Gram-Schmidt-Verfahren
Berechnen Sie orthogonale und orthonormale Basen aus Vektoren
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten des ersten Vektors ein
- Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten des zweiten Vektors ein
- Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten des dritten Vektors ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um die orthogonale und orthonormale Basis zu sehen
Was ist eine Orthogonale Basis?
Eine orthogonale Basis ist eine Menge von Vektoren, die gegenseitig senkrecht (orthogonal) zueinander stehen. Wenn diese Vektoren auch Einheitslänge (Betrag von 1) haben, bilden sie eine orthonormale Basis. Diese Konzepte sind grundlegend in der linearen Algebra und haben breite Anwendungen in Mathematik, Physik und Ingenieurwesen.
Das Gram-Schmidt-Verfahren ist ein Algorithmus, der eine Menge linear unabhängiger Vektoren nimmt und eine orthogonale (oder orthonormale) Menge von Vektoren erzeugt, die denselben Unterraum aufspannen.
Das Gram-Schmidt-Verfahren
Gegeben die Vektoren v₁, v₂, v₃, konstruiert das Gram-Schmidt-Verfahren orthogonale Vektoren u₁, u₂, u₃ wie folgt:
- u₁ = v₁ (erster Vektor bleibt unverändert)
- u₂ = v₂ - proj(v₂, u₁) (Projektion auf u₁ subtrahieren)
- u₃ = v₃ - proj(v₃, u₁) - proj(v₃, u₂) (Projektionen auf u₁ und u₂ subtrahieren)
Um eine orthonormale Basis zu erhalten, wird jeder Vektor durch Division durch seinen Betrag normalisiert: eᵢ = uᵢ / ||uᵢ||
Anwendungen Orthogonaler Basen
- QR-Zerlegung: Verwendet zur Lösung linearer Systeme und Eigenwertprobleme
- Computergrafik: Koordinatentransformationen und Kamerasysteme
- Signalverarbeitung: Fourier-Analyse und Wavelet-Transformationen
- Maschinelles Lernen: Hauptkomponentenanalyse (PCA)
- Quantenmechanik: Zustandsvektoren und Messbasen
- Numerische Analyse: Kleinste-Quadrate-Approximationen
Eigenschaften Orthogonaler Basen
- Rechtwinkligkeit: Alle Paare von Basisvektoren haben Skalarprodukt null
- Lineare Unabhängigkeit: Orthogonale Vektoren sind immer linear unabhängig
- Einfache Projektionen: Projektion auf orthogonale Basen ist rechnerisch einfach
- Koordinatenberechnung: Koordinaten finden ist mit Skalarprodukten unkompliziert
- Stabilität: Orthonormale Basen bieten numerische Stabilität bei Berechnungen
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen orthogonalen und orthonormalen Basen?
- Eine orthogonale Basis besteht aus gegenseitig senkrechten Vektoren beliebiger Länge. Eine orthonormale Basis ist eine orthogonale Basis, bei der jeder Vektor auf Einheitslänge (Betrag von 1) normalisiert wurde. Beide sind nützlich, aber orthonormale Basen vereinfachen viele Berechnungen.
- Warum ist das Gram-Schmidt-Verfahren wichtig?
- Das Gram-Schmidt-Verfahren ist grundlegend, weil es eine systematische Methode bietet, orthogonale Basen aus beliebigen Mengen linear unabhängiger Vektoren zu konstruieren. Dies ist wesentlich für QR-Zerlegung, Lösung von Kleinste-Quadrate-Problemen und viele andere Anwendungen in der numerischen linearen Algebra.
- Was passiert, wenn die Eingabevektoren linear abhängig sind?
- Wenn die Eingabevektoren linear abhängig sind, wird das Gram-Schmidt-Verfahren an einem Schritt einen Nullvektor erzeugen. Dies zeigt an, dass die Vektoren keinen vollständigen 3D-Raum aufspannen und keine vollständige Basis für R³ bilden können.
- Kann dieses Verfahren auf mehr als 3 Dimensionen erweitert werden?
- Ja, das Gram-Schmidt-Verfahren funktioniert in beliebig vielen Dimensionen. Der Algorithmus bleibt gleich: Von jedem neuen Vektor werden die Projektionen auf alle vorherigen orthogonalen Vektoren subtrahiert.