Orthogonale Projektion Rechner – Vektorprojektion
Berechnen Sie die Projektion eines Vektors auf einen anderen
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten des Vektors u ein (der zu projizierende Vektor)
- Geben Sie die x-, y- und z-Komponenten des Vektors v ein (der Vektor, auf den projiziert wird)
- Klicken Sie auf Berechnen, um das Projektionsergebnis zu sehen
- Sehen Sie den Projektionsvektor, die Größe und die Skalarprojektion
Was ist Orthogonale Projektion?
Die orthogonale Projektion des Vektors u auf den Vektor v ist die Komponente von u, die in Richtung von v liegt. Geometrisch ist es der Schatten, den u auf v werfen würde, wenn Licht senkrecht zu v scheinen würde.
Die Projektionsformel lautet: proj_v(u) = (u · v / |v|²) × v, wobei u · v das Skalarprodukt und |v| der Betrag von v ist.
Vektor- vs Skalarprojektion
- Vektorprojektion: Die tatsächliche Vektorkomponente von u in Richtung von v. Sie hat sowohl Betrag als auch Richtung.
- Skalarprojektion: Die vorzeichenbehaftete Länge der Projektion. Positiv, wenn u und v in ähnliche Richtungen zeigen, negativ wenn entgegengesetzt.
Die Skalarprojektion wird berechnet als: comp_v(u) = u · v / |v|
Anwendungen der Vektorprojektion
- Physik: Zerlegung von Kräften in Komponenten, Arbeitsberechnungen
- Computergrafik: Schattenberechnungen, Beleuchtungsmodelle
- Maschinelles Lernen: Merkmalsextraktion, Dimensionsreduktion
- Ingenieurwesen: Strukturanalyse, Signalverarbeitung
- Navigation: Entfernung entlang eines Pfades oder einer Richtung finden
Eigenschaften der Orthogonalen Projektion
- Idempotent: Eine Projektion zu projizieren ergibt dasselbe Ergebnis
- Linear: proj(au + bw) = a·proj(u) + b·proj(w)
- Orthogonales Komplement: u - proj_v(u) ist senkrecht zu v
- Betragsschranke: |proj_v(u)| ≤ |u|
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen Vektor- und Skalarprojektion?
- Die Vektorprojektion gibt Ihnen einen Vektor in Richtung von v mit der entsprechenden Länge. Die Skalarprojektion gibt Ihnen nur die vorzeichenbehaftete Länge (eine Zahl) dieser Projektion. Die Vektorprojektion entspricht der Skalarprojektion mal dem Einheitsvektor in Richtung von v.
- Was passiert, wenn ich auf einen Nullvektor projiziere?
- Auf einen Nullvektor zu projizieren ist mathematisch undefiniert, da Division durch Null auftritt. Unser Rechner gibt in diesem Fall einen Nullvektor zurück, um den Grenzfall elegant zu behandeln.
- Wie hängt die Projektion mit dem Skalarprodukt zusammen?
- Das Skalarprodukt u · v entspricht |u| |v| cos(θ), wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist. Die Skalarprojektion ist u · v / |v| = |u| cos(θ), was die Komponente von u in Richtung von v ist.
- Kann die Projektion negativ sein?
- Die Skalarprojektion kann negativ sein, wenn der Winkel zwischen den Vektoren größer als 90° ist. Die Vektorprojektion zeigt in diesem Fall in die entgegengesetzte Richtung von v.