Partielle Ableitung Rechner – Mehrdimensionale Analysis
Berechnen Sie partielle Ableitungen von Funktionen mit mehreren Variablen
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie Ihre Funktion mit x, y, z als Variablen ein (z.B. x^2+y^2)
- Geben Sie an, nach welcher Variable abgeleitet werden soll
- Optional: Geben Sie Punktkoordinaten ein, um die Ableitung auszuwerten
- Klicken Sie auf Berechnen, um die partielle Ableitung und Schritte zu sehen
Was ist eine Partielle Ableitung?
Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion ändert, wenn eine Variable sich ändert, während alle anderen Variablen konstant gehalten werden. Für eine Funktion f(x, y) behandelt die partielle Ableitung nach x, geschrieben ∂f/∂x, y als Konstante.
Partielle Ableitungen sind fundamental in der mehrdimensionalen Analysis und werden verwendet, um Funktionen mehrerer Variablen zu analysieren, Änderungsraten zu finden und Funktionen zu optimieren.
Notation und Symbole
- ∂f/∂x: Partielle Ableitung von f nach x
- fₓ: Indexnotation für partielle Ableitung
- ∂²f/∂x∂y: Gemischte partielle Ableitung
- ∇f: Gradient (Vektor aller partiellen Ableitungen)
Ableitungsregeln
- Potenzregel: ∂/∂x(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Konstantenregel: ∂/∂x(c) = 0 für jede Konstante c
- Summenregel: ∂/∂x(f + g) = ∂f/∂x + ∂g/∂x
- Produktregel: ∂/∂x(f·g) = f·∂g/∂x + g·∂f/∂x
- Kettenregel: ∂/∂x(f(g)) = f'(g)·∂g/∂x
Anwendungen
- Optimierung: Finden von Maxima und Minima mehrdimensionaler Funktionen
- Maschinelles Lernen: Gradientenabstieg zum Training neuronaler Netze
- Physik: Wärmegleichungen, Wellengleichungen, Strömungsmechanik
- Wirtschaft: Marginalanalyse, Nutzenfunktionen
- Ingenieurwesen: Spannungsanalyse, Regelungssysteme
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen partiellen und gewöhnlichen Ableitungen?
- Eine gewöhnliche Ableitung gilt für Funktionen einer Variablen. Eine partielle Ableitung gilt für Funktionen mehrerer Variablen und misst die Änderung bezüglich einer Variablen, während die anderen als Konstanten behandelt werden.
- Was ist der Gradient?
- Der Gradient ∇f ist ein Vektor, der alle partiellen Ableitungen einer Funktion enthält. Für f(x,y) ist der Gradient (∂f/∂x, ∂f/∂y). Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs.
- Was sind gemischte partielle Ableitungen?
- Gemischte partielle Ableitungen beinhalten das Ableiten nach verschiedenen Variablen nacheinander, wie ∂²f/∂x∂y. Nach dem Satz von Schwarz spielt die Reihenfolge normalerweise keine Rolle: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x für die meisten Funktionen.
- Wie werden partielle Ableitungen im maschinellen Lernen verwendet?
- Partielle Ableitungen sind wesentlich für den Gradientenabstieg, den Algorithmus zum Training neuronaler Netze. Der Gradient sagt uns, wie wir jeden Parameter anpassen müssen, um die Verlustfunktion zu minimieren.