Polar zu Kartesisch Rechner – Koordinaten Umrechnen
Wandeln Sie Polarkoordinaten in rechteckige (kartesische) Form um
Wie zu Verwenden
- Geben Sie den Radius (r) Wert ein
- Geben Sie den Winkel (θ) Wert ein
- Wählen Sie, ob der Winkel in Grad oder Radiant ist
- Sehen Sie die x- und y-Koordinaten und die komplexe Zahlenform
Wandeln Sie Polarkoordinaten in rechteckige (kartesische) Form um
Wandeln Sie Polarkoordinaten (r, θ) in rechteckige/kartesische Koordinaten (x, y) um. Methode: x = r cos θ; y = r sin θ; θ = atan2(y,x). Wandle Grad vor Sinus und Kosinus in Bogenmaß um.
Ein Punkt ist (r, θ): r ist eine vorzeichenbehaftete Radialkoordinate, θ wird gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse gemessen; der Abstand zum Ursprung ist |r|.
Umrechnungsformeln
Um von Polar (r, θ) in rechteckige Koordinaten (x, y) umzurechnen:
- x = r × cos(θ)
- y = r × sin(θ)
Um von rechteckig (x, y) in Polarkoordinaten (r, θ) umzurechnen:
- r = √(x² + y²)
- θ = atan2(y,x) (mit Quadrantenanpassung)
Verbindung zu Komplexen Zahlen
Polarkoordinaten sind eng mit komplexen Zahlen verbunden. Eine komplexe Zahl z = x + yi kann in Polarform als z = r(cos θ + i sin θ) oder mit der Eulerschen Formel als z = re^(iθ) geschrieben werden.
Diese Verbindung macht die Polarform besonders nützlich für Multiplikation und Division komplexer Zahlen sowie für das Finden von Wurzeln.
Häufige Winkelumrechnungen
| Grad | Radiant | cos(θ) | sin(θ) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 |
| 180° | π | -1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | 0 | -1 |
Anwendungsbeispiel
- Punkt aus Radius und Winkel: r=2, θ=90° → (x,y)=(0,2).
Methode, Beispiel, Rundung und Grenzen
Methode: x = r cos θ; y = r sin θ; θ = atan2(y,x). Wandle Grad vor Sinus und Kosinus in Bogenmaß um.
Beispiel: r=2, θ=90° → (x,y)=(0,2).
Rundung: x, y und der Winkel im Bogenmaß verwenden bis zu 6 Dezimalstellen; der Winkel in Grad verwendet 2 Dezimalstellen.
Grenze: Sehr kleine trigonometrische Werte können nach dem Runden als null erscheinen.
Quelle: OpenStax. https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-3-polar-coordinates
Häufig gestellte Fragen
- Wann sollte ich Polarkoordinaten statt rechteckiger verwenden?
- Polarkoordinaten sind ideal bei kreisförmigen oder rotierenden Problemen, wie der Beschreibung von Umlaufbahnen, Spiralen oder jeder Situation, in der Abstand von einem Mittelpunkt und Winkel natürlichere Maße sind als x- und y-Positionen.
- Kann der Radius negativ sein?
- Ja, ein negativer Radius bedeutet, dass der Punkt in der entgegengesetzten Richtung liegt. Der Punkt (-r, θ) ist dasselbe wie (r, θ + 180°). Diese Konvention wird manchmal in der Mathematik verwendet, kann aber verwirrend sein, daher sind positive Radien üblicher.
- Wie rechne ich Grad in Radiant um?
- Multiplizieren Sie Grad mit π/180. Zum Beispiel: 90° = 90 × π/180 = π/2 Radiant. Umgekehrt multiplizieren Sie Radiant mit 180/π, um Grad zu erhalten.
- Was ist die Beziehung zwischen Polarform und komplexen Zahlen?
- Eine komplexe Zahl x + yi entspricht dem Punkt (x, y) in rechteckigen Koordinaten, was (r, θ) in Polarform entspricht, wobei r = √(x² + y²) und θ = atan2(y,x). Dies wird als r∠θ oder r·e^(iθ) geschrieben.