Polynomdivision-Rechner – Polynome dividieren
Dividieren Sie Polynome und erhalten Sie Quotient und Rest
Wie zu Verwenden
- Geben Sie die Koeffizienten des Dividendenpolynoms ein (bis Grad 3)
- Geben Sie die Koeffizienten des Divisorpolynoms ein (bis Grad 2)
- Lassen Sie Koeffizienten bei 0 für fehlende Terme
- Klicken Sie auf Berechnen, um Quotient und Rest zu sehen
- Das Ergebnis zeigt die Division in Polynomform
Was ist Polynomdivision?
Polynomdivision ist der Prozess, ein Polynom (den Dividenden) durch ein anderes Polynom (den Divisor) zu teilen, um einen Quotienten und möglicherweise einen Rest zu erhalten. Es ist ähnlich wie die schriftliche Division mit Zahlen, funktioniert aber mit algebraischen Ausdrücken.
Die Division kann ausgedrückt werden als: Dividend = Divisor × Quotient + Rest
Methode der Polynomdivision
Um Polynomdivision durchzuführen:
- Ordnen Sie beide Polynome in absteigender Reihenfolge nach Grad
- Teilen Sie den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors
- Multiplizieren Sie den gesamten Divisor mit diesem Ergebnis
- Subtrahieren Sie dieses Produkt vom Dividenden
- Wiederholen Sie mit dem neuen Polynom, bis der Grad des Rests kleiner ist als der Grad des Divisors
Beispiel
Teilen Sie x³ + 2x² - 5x + 6 durch x + 2:
- x³ ÷ x = x² (erster Term des Quotienten)
- Multiplizieren: (x + 2) × x² = x³ + 2x²
- Subtrahieren: (x³ + 2x² - 5x + 6) - (x³ + 2x²) = -5x + 6
- Fortsetzen: -5x ÷ x = -5
- Multiplizieren: (x + 2) × (-5) = -5x - 10
- Subtrahieren: (-5x + 6) - (-5x - 10) = 16
- Ergebnis: Quotient = x² - 5, Rest = 16
Anwendungen der Polynomdivision
- Vereinfachung rationaler Ausdrücke
- Finden von Nullstellen und Faktoren von Polynomen
- Partialbruchzerlegung in der Analysis
- Signalverarbeitung und Filterdesign
- Lösen von Polynomgleichungen
- Kurvenanpassung und Interpolation
- Regelungstechnik
Das Restwertsatz
Der Restwertsatz besagt, dass wenn ein Polynom P(x) durch (x - a) geteilt wird, der Rest P(a) ist. Dies bietet eine schnelle Möglichkeit, Polynome auszuwerten und zu überprüfen, ob (x - a) ein Faktor ist.
Wenn der Rest 0 ist, dann ist (x - a) ein Faktor von P(x), was das Faktorsatz ist.
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen Polynomdivision und normaler Division?
- Polynomdivision arbeitet mit algebraischen Ausdrücken, die Variablen enthalten, während normale Division mit Zahlen arbeitet. Der Prozess ist ähnlich der schriftlichen Division, aber Sie teilen Terme mit Variablen und kombinieren gleichartige Terme während der Subtraktion.
- Kann der Rest null sein?
- Ja, wenn der Rest null ist, bedeutet dies, dass der Divisor ein Faktor des Dividenden ist. Der Dividend kann als Produkt von Divisor und Quotient ohne Rest ausgedrückt werden.
- Was passiert, wenn der Dividend einen niedrigeren Grad hat als der Divisor?
- Wenn der Dividend einen niedrigeren Grad hat als der Divisor, ist der Quotient 0 und der Rest ist der ursprüngliche Dividend. Sie können ein Polynom niedrigeren Grades nicht durch ein Polynom höheren Grades teilen, um einen von null verschiedenen Quotienten zu erhalten.
- Wie gehe ich mit fehlenden Termen in einem Polynom um?
- Für fehlende Terme verwenden Sie einen Koeffizienten von 0. Zum Beispiel, wenn Sie x³ + 5 haben (fehlende x²- und x-Terme), geben Sie die Koeffizienten als ein: 1, 0, 0, 5.