Potenzreihen-Rechner – Taylor- und Maclaurin-Reihen
Berechnen Sie Potenzreihenentwicklungen für gängige Funktionen
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Wählen Sie den Funktionstyp (Exponential, Sinus, Kosinus, ln oder geometrisch)
- Geben Sie den Mittelpunkt ein (0 für Maclaurin-Reihen)
- Geben Sie die Anzahl der zu berechnenden Terme an
- Geben Sie den Wert ein, an dem die Reihe ausgewertet werden soll
- Klicken Sie auf Berechnen, um die Reihenentwicklung und Näherung zu sehen
Was ist eine Potenzreihe?
Eine Potenzreihe ist eine unendliche Reihe der Form Σ aₙ(x-a)ⁿ, wobei aₙ die Koeffizienten sind, x die Variable und a der Mittelpunkt. Potenzreihen werden verwendet, um Funktionen als unendliche Summen von Polynomtermen darzustellen.
Wenn der Mittelpunkt a = 0 ist, wird die Reihe Maclaurin-Reihe genannt. Wenn a ≠ 0, wird sie Taylor-Reihe mit Mittelpunkt a genannt.
Gängige Potenzreihen
| Funktion | Potenzreihe | Konvergenz |
|---|---|---|
| e^x | Σ xⁿ/n! | Alle reellen x |
| sin(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)! | Alle reellen x |
| cos(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n)/(2n)! | Alle reellen x |
| ln(1+x) | Σ (-1)^(n+1)xⁿ/n | -1 < x ≤ 1 |
| 1/(1-x) | Σ xⁿ | |x| < 1 |
Taylor-Reihen-Formel
Die Taylor-Reihe einer Funktion f(x) mit Mittelpunkt a ist:
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! × (x-a)ⁿ für n = 0 bis ∞
Wobei f⁽ⁿ⁾(a) die n-te Ableitung von f ausgewertet bei x = a ist.
Konvergenz und Radius
Jede Potenzreihe hat einen Konvergenzradius R, der bestimmt, wo die Reihe konvergiert:
- Die Reihe konvergiert absolut für |x - a| < R
- Die Reihe divergiert für |x - a| > R
- Bei |x - a| = R muss die Konvergenz separat getestet werden
- R kann mit dem Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium gefunden werden
Anwendungen von Potenzreihen
- Approximation von Funktionswerten
- Lösen von Differentialgleichungen
- Auswertung von Grenzwerten und Integralen
- Numerische Analyse und Berechnung
- Physik- und Ingenieurberechnungen
- Signalverarbeitung und Fourier-Analyse
- Computergrafik und Animation
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen Taylor- und Maclaurin-Reihen?
- Eine Maclaurin-Reihe ist ein Spezialfall einer Taylor-Reihe, bei der der Mittelpunkt 0 ist. Taylor-Reihen können an jedem Punkt a zentriert sein, während Maclaurin-Reihen immer bei x = 0 zentriert sind.
- Wie viele Terme brauche ich für eine gute Näherung?
- Es hängt von der Funktion ab und davon, wie nah x am Mittelpunkt liegt. Generell geben mehr Terme eine bessere Genauigkeit. Für die meisten praktischen Zwecke bieten 5-10 Terme gute Näherungen in der Nähe des Mittelpunkts.
- Warum gibt die Reihe manchmal falsche Werte?
- Potenzreihen konvergieren nur innerhalb ihres Konvergenzradius. Zum Beispiel konvergiert ln(1+x) nur für -1 < x ≤ 1, daher wird die Auswertung bei x = 2 falsche Ergebnisse liefern.
- Kann ich Potenzreihen für jede Funktion verwenden?
- Nicht alle Funktionen haben Potenzreihendarstellungen. Eine Funktion muss am Mittelpunkt unendlich oft differenzierbar sein, um eine Taylor-Reihe zu haben. Einige Funktionen, wie |x|, haben an bestimmten Punkten keine Potenzreihen.