Primfaktorzerlegung-Rechner – Primfaktoren Finden
Finden Sie Primfaktoren und Teiler jeder Zahl
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie eine positive ganze Zahl ein (2 oder größer)
- Klicken Sie auf Berechnen, um die Primfaktorzerlegung zu finden
- Sehen Sie die Primfaktoren und ihre Exponenten
- Betrachten Sie die Exponentialform und alle Teiler
- Prüfen Sie, ob die Zahl eine Primzahl ist
Was ist Primfaktorzerlegung?
Primfaktorzerlegung ist der Prozess, herauszufinden, welche Primzahlen miteinander multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Jede positive ganze Zahl größer als 1 kann eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden (Fundamentalsatz der Arithmetik).
Zum Beispiel: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
Was sind Primzahlen?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst hat. Die ersten Primzahlen sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
Beachten Sie, dass 2 die einzige gerade Primzahl ist. Alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar.
Wie Man Primfaktoren Findet
- Beginnen Sie mit der kleinsten Primzahl (2)
- Teilen Sie die Zahl so oft wie möglich durch 2
- Gehen Sie zur nächsten Primzahl (3, 5, 7, ...)
- Fahren Sie fort, bis der Quotient 1 ist
- Die Primfaktoren sind alle Primzahlen, die bei der Division verwendet wurden
Teilerformeln
Für eine Zahl n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ:
- Anzahl der Teiler: (a₁+1) × (a₂+1) × ... × (aₖ+1)
- Summe der Teiler: [(p₁^(a₁+1) - 1)/(p₁-1)] × ... × [(pₖ^(aₖ+1) - 1)/(pₖ-1)]
- Produkt der Teiler: n^(d(n)/2) wobei d(n) die Anzahl der Teiler ist
Anwendungen der Primfaktorzerlegung
- Finden von ggT (größter gemeinsamer Teiler) und kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
- Vereinfachen von Brüchen
- Kryptographie und Sicherheit (RSA-Verschlüsselung)
- Zahlentheorie und mathematische Beweise
- Informatik-Algorithmen
- Lösen diophantischer Gleichungen
- Musiktheorie und Harmonie
Häufig gestellte Fragen
- Ist 1 eine Primzahl?
- Nein, 1 wird nicht als Primzahl betrachtet. Per Definition muss eine Primzahl genau zwei verschiedene positive Teiler haben: 1 und sich selbst. Die Zahl 1 hat nur einen Teiler (sich selbst), daher qualifiziert sie nicht als Primzahl.
- Warum ist die Primfaktorzerlegung eindeutig?
- Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, bis auf die Reihenfolge der Faktoren. Diese Eindeutigkeit ist grundlegend für die Zahlentheorie.
- Wie finde ich den ggT mit Primfaktorzerlegung?
- Um den ggT zweier Zahlen zu finden, ermitteln Sie ihre Primfaktorzerlegungen, dann multiplizieren Sie die gemeinsamen Primfaktoren mit dem niedrigsten Exponenten für jeden. Zum Beispiel: ggT(12, 18) = ggT(2²×3, 2×3²) = 2¹×3¹ = 6.
- Was ist die größte bekannte Primzahl?
- Die größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Primzahlen der Form 2^p - 1. Nach aktuellen Rekorden hat die größte bekannte Primzahl über 24 Millionen Ziffern. Das Finden großer Primzahlen ist ein aktives Gebiet der mathematischen Forschung.