QR-Zerlegung Rechner – Matrixfaktorisierung
Zerlegen Sie eine Matrix in Q (orthogonal) und R (obere Dreiecksmatrix)
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Legen Sie die Matrixdimensionen fest (Zeilen und Spalten)
- Geben Sie die Werte für jedes Element der Matrix ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um die QR-Zerlegung durchzuführen
- Sehen Sie die resultierenden Q- und R-Matrizen
Was ist die QR-Zerlegung?
Die QR-Zerlegung (auch QR-Faktorisierung genannt) ist eine Methode, eine Matrix A als Produkt zweier Matrizen auszudrücken: Q und R. Matrix Q ist eine orthogonale Matrix (ihre Spalten sind orthonormale Vektoren), und R ist eine obere Dreiecksmatrix.
Die Zerlegung wird als A = QR geschrieben, wobei Q orthonormale Spalten hat (Q^T Q = I) und R Nullen unterhalb ihrer Hauptdiagonale hat.
Das Gram-Schmidt-Verfahren
Dieser Rechner verwendet das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren zur Berechnung der QR-Zerlegung. Das Verfahren funktioniert durch:
- Aufnahme jeder Spalte von A der Reihe nach
- Subtraktion der Projektionen auf zuvor berechnete orthonormale Vektoren
- Normalisierung des Ergebnisses zu einem Einheitsvektor
- Aufzeichnung der Projektionskoeffizienten in Matrix R
Eigenschaften von Q und R
Matrix Q (Orthogonal):
- Spalten sind orthonormal (senkrechte Einheitsvektoren)
- Q^T Q = I (Einheitsmatrix)
- Erhält Vektorlängen und Winkel
Matrix R (Obere Dreiecksmatrix):
- Alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale sind Null
- Diagonaleinträge sind die Normen der orthogonalisierten Vektoren
- Nicht-Diagonaleinträge sind Projektionskoeffizienten
Anwendungen der QR-Zerlegung
- Lösung linearer Kleinste-Quadrate-Probleme
- Berechnung von Eigenwerten (QR-Algorithmus)
- Lösung linearer Gleichungssysteme
- Signalverarbeitung und Datenkompression
- Maschinelles Lernen Algorithmen
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen QR- und LU-Zerlegung?
- Die QR-Zerlegung erzeugt eine orthogonale Matrix Q und obere Dreiecksmatrix R, während die LU-Zerlegung eine untere Dreiecksmatrix L und obere Dreiecksmatrix U erzeugt. QR ist numerisch stabiler und wird für Kleinste-Quadrate-Probleme bevorzugt.
- Kann jede Matrix QR-zerlegt werden?
- Jede reelle Matrix mit linear unabhängigen Spalten kann QR-zerlegt werden. Für Matrizen mit linear abhängigen Spalten kann eine modifizierte Version namens QR mit Spaltenpivotierung verwendet werden.
- Was bedeutet es, dass Q orthogonal ist?
- Eine orthogonale Matrix Q hat die Eigenschaft, dass Q^T Q = I (Einheitsmatrix). Das bedeutet, ihre Spalten sind gegenseitig senkrechte Einheitsvektoren, und Multiplikation mit Q erhält Längen und Winkel.
- Wie wird die QR-Zerlegung bei Kleinsten Quadraten verwendet?
- Für das Kleinste-Quadrate-Problem Ax ≈ b transformiert die QR-Zerlegung es zu Rx = Q^T b, das durch Rückwärtssubstitution leicht zu lösen ist, da R eine obere Dreiecksmatrix ist.