Quadratische Gleichung Rechner – Löse ax² + bx + c = 0
Lösen Sie quadratische Gleichungen und finden Sie Wurzeln mit der quadratischen Formel
Wie zu Verwenden
- Geben Sie den Koeffizienten a ein (darf nicht null sein)
- Geben Sie den Koeffizienten b ein
- Geben Sie den Koeffizienten c ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um Wurzeln und Eigenschaften zu finden
Was ist eine Quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades in der Form ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0. Die Lösungen dieser Gleichung werden Wurzeln oder Nullstellen genannt.
Der Graph einer quadratischen Gleichung ist eine Parabel, die nach oben öffnet wenn a > 0 und nach unten wenn a < 0.
Die Quadratische Formel
Die quadratische Formel liefert die Lösungen für jede quadratische Gleichung:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Der Ausdruck unter der Wurzel, b² - 4ac, wird Diskriminante (Δ) genannt und bestimmt die Art der Wurzeln.
Die Diskriminante
Die Diskriminante Δ = b² - 4ac sagt uns über die Art der Wurzeln:
- Wenn Δ > 0: Zwei verschiedene reelle Wurzeln
- Wenn Δ = 0: Eine wiederholte reelle Wurzel (Doppelwurzel)
- Wenn Δ < 0: Zwei konjugiert komplexe Wurzeln
Scheitelpunkt und Symmetrieachse
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt am Punkt (-b/(2a), f(-b/(2a))), wobei f(x) = ax² + bx + c.
Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie x = -b/(2a), die durch den Scheitelpunkt verläuft.
Methoden zur Lösung Quadratischer Gleichungen
- Quadratische Formel: Funktioniert für alle quadratischen Gleichungen
- Faktorisierung: Wenn die Gleichung leicht faktorisiert werden kann
- Quadratische Ergänzung: Nützlich zur Herleitung der quadratischen Formel
- Graphische Methode: Finden der x-Achsenabschnitte der Parabel
Häufig gestellte Fragen
- Warum darf der Koeffizient 'a' nicht null sein?
- Wenn a = 0, wird die Gleichung zu bx + c = 0, was eine lineare Gleichung ist, keine quadratische Gleichung. Quadratische Gleichungen müssen einen x²-Term haben.
- Was sind komplexe Wurzeln?
- Komplexe Wurzeln treten auf, wenn die Diskriminante negativ ist. Sie beinhalten die imaginäre Einheit i = √(-1) und kommen immer in konjugierten Paaren vor, wie 2 + 3i und 2 - 3i.
- Wie weiß ich, ob meine Gleichung reelle Lösungen hat?
- Berechnen Sie die Diskriminante Δ = b² - 4ac. Wenn Δ ≥ 0, hat die Gleichung reelle Lösungen. Wenn Δ < 0, sind die Lösungen komplexe Zahlen.
- Was ist die Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten?
- Für ax² + bx + c = 0 mit Wurzeln r und s: die Summe der Wurzeln r + s = -b/a, und das Produkt der Wurzeln r × s = c/a. Dies sind die Vieta'schen Formeln.