Quotientenkriterium Rechner – Reihenkonvergenz
Testen Sie die Reihenkonvergenz mit dem Quotientenkriterium (D'Alembert-Kriterium)
Wie zu Verwenden
- Wählen Sie den Reihentyp, den Sie analysieren möchten
- Geben Sie die erforderlichen Parameter für Ihre Reihe ein
- Klicken Sie auf Berechnen, um das Quotientenkriterium anzuwenden
- Sehen Sie das Konvergenzergebnis und die Erklärung
Was ist das Quotientenkriterium?
Das Quotientenkriterium (auch bekannt als D'Alembert-Kriterium) ist eine Methode zur Bestimmung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert. Es untersucht den Grenzwert des Verhältnisses aufeinanderfolgender Terme.
Für eine Reihe Σaₙ berechnen Sie L = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ|. Dann: wenn L < 1, konvergiert die Reihe absolut; wenn L > 1, divergiert die Reihe; wenn L = 1, ist der Test nicht schlüssig.
Wann das Quotientenkriterium Verwenden
Das Quotientenkriterium ist besonders effektiv für Reihen mit:
- Fakultäten (n!)
- Exponentiellen (aⁿ)
- Produkten von Fakultäten und Exponentiellen
- Potenzreihen (zur Bestimmung des Konvergenzradius)
Einschränkungen
Das Quotientenkriterium ist nicht schlüssig (L = 1) für viele wichtige Reihen:
- P-Reihen (Σ1/n^p) - verwenden Sie stattdessen den P-Reihen-Test
- Harmonische Reihe (Σ1/n) - divergiert
- Alternierende harmonische Reihe - verwenden Sie den Test für alternierende Reihen
Häufige Beispiele
Geometrische Reihe Σrⁿ: L = |r|, konvergiert wenn |r| < 1
Fakultätsreihe Σ1/n!: L = 0, konvergiert
Exponentialreihe Σxⁿ/n!: L = 0, konvergiert für alle x
Häufig gestellte Fragen
- Was bedeutet es, wenn das Quotientenkriterium nicht schlüssig ist?
- Wenn L = 1, kann das Quotientenkriterium die Konvergenz nicht bestimmen. Sie müssen einen anderen Test verwenden, wie das Wurzelkriterium, den Vergleichstest, den Integraltest oder den Test für alternierende Reihen, je nach Struktur der Reihe.
- Was ist der Unterschied zwischen Quotientenkriterium und Wurzelkriterium?
- Beide Tests untersuchen ähnliche Grenzwerte, verwenden aber unterschiedliche Ansätze. Das Quotientenkriterium betrachtet |aₙ₊₁/aₙ|, während das Wurzelkriterium |aₙ|^(1/n) untersucht. Sie geben oft das gleiche Ergebnis, aber manchmal ist einer leichter zu berechnen als der andere.
- Kann das Quotientenkriterium bedingte Konvergenz bestimmen?
- Nein, das Quotientenkriterium bestimmt nur absolute Konvergenz. Wenn L < 1, konvergiert die Reihe absolut. Für bedingte Konvergenz (konvergiert, aber nicht absolut) benötigen Sie andere Tests wie den Test für alternierende Reihen.
- Warum funktioniert das Quotientenkriterium?
- Das Quotientenkriterium vergleicht Ihre Reihe mit einer geometrischen Reihe. Wenn das Verhältnis aufeinanderfolgender Terme sich einem Wert kleiner als 1 nähert, verhält sich die Reihe wie eine konvergente geometrische Reihe. Wenn größer als 1, verhält sie sich wie eine divergente geometrische Reihe.