Spaltenraum-Rechner – Matrix-Spaltenraum
Berechnen Sie den Spaltenraum und die Basisvektoren einer Matrix
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Geben Sie Ihre Matrix mit durch neue Zeilen getrennten Zeilen ein
- Trennen Sie die Werte in jeder Zeile durch Leerzeichen
- Klicken Sie auf Berechnen, um den Spaltenraum zu finden
- Überprüfen Sie die Basisvektoren und den Rang
Was ist der Spaltenraum?
Der Spaltenraum (oder Bildraum) einer Matrix A ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen ihrer Spaltenvektoren. Er repräsentiert alle Vektoren, die durch Multiplikation der Matrix mit einem beliebigen Vektor erhalten werden können.
Wenn A eine m×n-Matrix ist, ist der Spaltenraum ein Unterraum von ℝᵐ. Die Dimension dieses Unterraums wird als Rang der Matrix bezeichnet.
Finden einer Basis für den Spaltenraum
Um eine Basis für den Spaltenraum zu finden:
- Führen Sie eine Zeilenreduktion auf der Matrix durch, um die Pivotspalten zu finden
- Die Pivotspalten in der ursprünglichen Matrix bilden eine Basis für den Spaltenraum
- Die Anzahl der Pivotspalten entspricht dem Rang der Matrix
Wichtige Eigenschaften
- Der Rang entspricht der Dimension des Spaltenraums
- Der Spaltenraum enthält den Nullvektor
- Zeilenoperationen ändern die Struktur des Spaltenraums nicht
- Der Spaltenraum ist das orthogonale Komplement des linken Nullraums
Häufig gestellte Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen Spaltenraum und Zeilenraum?
- Der Spaltenraum ist die Spanne der Spaltenvektoren (Unterraum von ℝᵐ), während der Zeilenraum die Spanne der Zeilenvektoren ist (Unterraum von ℝⁿ). Beide haben die gleiche Dimension (den Rang), existieren aber in verschiedenen Räumen.
- Wie hängt der Rang mit dem Spaltenraum zusammen?
- Der Rang einer Matrix entspricht der Dimension ihres Spaltenraums. Er repräsentiert die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren in der Matrix.
- Kann der Spaltenraum leer sein?
- Nein, der Spaltenraum enthält immer mindestens den Nullvektor, was ihn zu einem gültigen Unterraum macht. Selbst eine Nullmatrix hat einen Spaltenraum (der nur den Nullvektor enthält).