Zwischenwertsatz Rechner
Teste den Zwischenwertsatz auf einem Intervall und schätze, wo ein Zielwert erreicht wird.
Inhaltsverzeichnis
Wie zu Verwenden
- Gib die linke Intervallgrenze a ein
- Gib die rechte Intervallgrenze b ein
- Trage die Funktionswerte f(a) und f(b) ein
- Setze den Zielwert k (k = 0 zum Finden einer Nullstelle) und berechne
Was der Zwischenwertsatz garantiert
Ist eine Funktion auf [a, b] stetig, nimmt sie jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Jeder Zielwert k zwischen diesen Ausgaben tritt also mindestens einmal im Intervall auf.
- Stelle sicher, dass f auf dem abgeschlossenen Intervall stetig ist.
- Bestätige, dass der Zielwert k zwischen f(a) und f(b) liegt.
- Haben f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen, existiert eine Nullstelle dazwischen.
Der Satz liefert einen Existenznachweis, aber keine Eindeutigkeit. Allein liefert er keine exakte Stelle.
Den Punkt c abschätzen
Eine lineare Interpolation zwischen (a, f(a)) und (b, f(b)) gibt eine schnelle Annäherung daran, wo f(c) = k liegen kann.
- Berechne die Sekantensteigung m = (f(b) - f(a)) / (b - a).
- Löse a + (k - f(a)) / (f(b) - f(a)) · (b - a), um c zu schätzen.
- Nutze dies als Startwert für Methoden wie Bisektion oder Newton.
Häufig gestellte Fragen
- Was gilt hier als Nachweis?
- Die Berechnung prüft den Wertebereich von f(a) bis f(b). Liegt das Ziel darin und wird Stetigkeit angenommen, garantiert der Satz mindestens einen Punkt c mit f(c) = k in (a, b).
- Gibt das Ergebnis die exakte Lösung?
- Nein. Der Zwischenwertsatz beweist nur die Existenz. Die lineare Schätzung hier ist ein praktischer Startwert, nicht die exakte Stelle.
- Was, wenn f(a) = f(b) = k?
- Dann erfüllt jeder Punkt im Intervall f(x) = k. Wenn f(a) = f(b), aber nicht gleich k, garantiert der Satz nicht, dass k erreicht wird.