Calculateur de Décomposition LU – Factoriser des Matrices en L et U
Décomposez les matrices en facteurs triangulaires inférieur et supérieur
Comment Utiliser
- Sélectionnez la taille de la matrice (2x2 ou 3x3)
- Entrez les éléments de la matrice
- Cliquez sur calculer pour voir la décomposition LU
- Examinez les matrices L et U avec vérification
Qu'est-ce que la Décomposition LU ?
La décomposition LU (également appelée factorisation LU) est une méthode de factorisation d'une matrice A en produit d'une matrice triangulaire inférieure L et d'une matrice triangulaire supérieure U, telle que A = LU. La matrice triangulaire inférieure a tous ses zéros au-dessus de la diagonale, tandis que la matrice triangulaire supérieure a tous ses zéros en dessous de la diagonale.
Cette décomposition est fondamentale en algèbre linéaire numérique et est largement utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, calculer des déterminants et trouver efficacement des inverses de matrices.
Applications de la Décomposition LU
- Résolution de systèmes d'équations linéaires (Ax = b)
- Calcul efficace des déterminants de matrices
- Recherche des inverses de matrices
- Stabilité numérique dans les algorithmes computationnels
- Simulations en ingénierie et physique
Méthode de Doolittle
Ce calculateur utilise l'algorithme de Doolittle, qui fixe les éléments diagonaux de L à 1. L'algorithme calcule systématiquement les éléments de U ligne par ligne et L colonne par colonne, garantissant que A = LU.
Questions fréquentes
- Que signifie l'échec de la décomposition LU ?
- La décomposition LU sans pivotement échoue lorsqu'un pivot nul est rencontré, ce qui signifie que la matrice est singulière ou que la décomposition nécessite des échanges de lignes. Dans de tels cas, la décomposition LU avec pivotement partiel (PA = LU) doit être utilisée.
- Pourquoi la décomposition LU est-elle utile ?
- Une fois qu'une matrice est décomposée en L et U, la résolution de systèmes d'équations devient beaucoup plus rapide. Au lieu de résoudre Ax = b directement, vous résolvez Ly = b (substitution avant) puis Ux = y (substitution arrière), ce qui est efficace sur le plan computationnel.
- Quelle est la différence entre les matrices L et U ?
- L (Triangulaire inférieure) a des éléments non nuls uniquement sur et en dessous de la diagonale principale, avec des 1 sur la diagonale dans la méthode de Doolittle. U (Triangulaire supérieure) a des éléments non nuls uniquement sur et au-dessus de la diagonale principale.