Calculateur de Décomposition QR – Factorisation de Matrices
Décomposez une matrice en matrices Q (orthogonale) et R (triangulaire supérieure)
Table des matières
Comment Utiliser
- Définissez les dimensions de la matrice (lignes et colonnes)
- Entrez les valeurs pour chaque élément de la matrice
- Cliquez sur calculer pour effectuer la décomposition QR
- Visualisez les matrices Q et R résultantes
Qu'est-ce que la Décomposition QR ?
La décomposition QR (aussi appelée factorisation QR) est une façon d'exprimer une matrice A comme produit de deux matrices : Q et R. La matrice Q est une matrice orthogonale (ses colonnes sont des vecteurs orthonormaux), et R est une matrice triangulaire supérieure.
La décomposition s'écrit A = QR, où Q a des colonnes orthonormales (Q^T Q = I) et R a des zéros sous sa diagonale principale.
Le Procédé de Gram-Schmidt
Ce calculateur utilise le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt pour calculer la décomposition QR. Le procédé fonctionne en :
- Prenant chaque colonne de A en séquence
- Soustrayant les projections sur les vecteurs orthonormaux précédemment calculés
- Normalisant le résultat pour obtenir un vecteur unitaire
- Enregistrant les coefficients de projection dans la matrice R
Propriétés de Q et R
Matrice Q (Orthogonale) :
- Les colonnes sont orthonormales (vecteurs unitaires perpendiculaires)
- Q^T Q = I (matrice identité)
- Préserve les longueurs de vecteurs et les angles
Matrice R (Triangulaire Supérieure) :
- Toutes les entrées sous la diagonale principale sont nulles
- Les entrées diagonales sont les normes des vecteurs orthogonalisés
- Les entrées hors diagonale sont les coefficients de projection
Applications de la Décomposition QR
- Résolution de problèmes de moindres carrés linéaires
- Calcul de valeurs propres (algorithme QR)
- Résolution de systèmes d'équations linéaires
- Traitement du signal et compression de données
- Algorithmes d'apprentissage automatique
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre la décomposition QR et LU ?
- La décomposition QR produit une matrice orthogonale Q et triangulaire supérieure R, tandis que la décomposition LU produit une triangulaire inférieure L et triangulaire supérieure U. QR est plus stable numériquement et est préférée pour les problèmes de moindres carrés.
- Peut-on décomposer n'importe quelle matrice en QR ?
- Toute matrice réelle avec des colonnes linéairement indépendantes peut être décomposée en QR. Pour les matrices avec des colonnes linéairement dépendantes, une version modifiée appelée QR avec pivotement de colonnes peut être utilisée.
- Que signifie que Q soit orthogonale ?
- Une matrice orthogonale Q a la propriété que Q^T Q = I (matrice identité). Cela signifie que ses colonnes sont des vecteurs unitaires mutuellement perpendiculaires, et multiplier par Q préserve les longueurs et les angles.
- Comment la décomposition QR est-elle utilisée dans les moindres carrés ?
- Pour le problème des moindres carrés Ax ≈ b, la décomposition QR le transforme en Rx = Q^T b, qui est facile à résoudre par substitution arrière puisque R est triangulaire supérieure.