Calculateur de Dérivée Partielle – Calcul Multivariable
Calculez les dérivées partielles de fonctions à plusieurs variables
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez votre fonction en utilisant x, y, z comme variables (ex., x^2+y^2)
- Spécifiez par rapport à quelle variable dériver
- Optionnellement entrez les coordonnées du point pour évaluer la dérivée
- Cliquez sur calculer pour voir la dérivée partielle et les étapes
Qu'est-ce qu'une Dérivée Partielle ?
Une dérivée partielle mesure comment une fonction change lorsqu'une variable change tout en maintenant toutes les autres variables constantes. Pour une fonction f(x, y), la dérivée partielle par rapport à x, écrite ∂f/∂x, traite y comme une constante.
Les dérivées partielles sont fondamentales en calcul multivariable et sont utilisées pour analyser les fonctions de plusieurs variables, trouver les taux de variation et optimiser les fonctions.
Notation et Symboles
- ∂f/∂x : Dérivée partielle de f par rapport à x
- fₓ : Notation en indice pour la dérivée partielle
- ∂²f/∂x∂y : Dérivée partielle mixte
- ∇f : Gradient (vecteur de toutes les dérivées partielles)
Règles de Dérivation
- Règle de la puissance : ∂/∂x(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- Règle de la constante : ∂/∂x(c) = 0 pour toute constante c
- Règle de la somme : ∂/∂x(f + g) = ∂f/∂x + ∂g/∂x
- Règle du produit : ∂/∂x(f·g) = f·∂g/∂x + g·∂f/∂x
- Règle de la chaîne : ∂/∂x(f(g)) = f'(g)·∂g/∂x
Applications
- Optimisation : Trouver les maxima et minima des fonctions multivariables
- Apprentissage Automatique : Descente de gradient pour entraîner les réseaux de neurones
- Physique : Équations de chaleur, équations d'onde, dynamique des fluides
- Économie : Analyse marginale, fonctions d'utilité
- Ingénierie : Analyse des contraintes, systèmes de contrôle
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre les dérivées partielles et ordinaires ?
- Une dérivée ordinaire s'applique aux fonctions d'une variable. Une dérivée partielle s'applique aux fonctions de plusieurs variables et mesure le changement par rapport à une variable tout en traitant les autres comme des constantes.
- Qu'est-ce que le gradient ?
- Le gradient ∇f est un vecteur contenant toutes les dérivées partielles d'une fonction. Pour f(x,y), le gradient est (∂f/∂x, ∂f/∂y). Il pointe dans la direction de la plus forte augmentation.
- Que sont les dérivées partielles mixtes ?
- Les dérivées partielles mixtes impliquent de dériver par rapport à différentes variables en séquence, comme ∂²f/∂x∂y. Par le théorème de Clairaut, l'ordre n'a généralement pas d'importance : ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x pour la plupart des fonctions.
- Comment les dérivées partielles sont-elles utilisées en apprentissage automatique ?
- Les dérivées partielles sont essentielles pour la descente de gradient, l'algorithme utilisé pour entraîner les réseaux de neurones. Le gradient nous indique comment ajuster chaque paramètre pour minimiser la fonction de perte.