Calculateur de Divergence – Divergence de Champ Vectoriel
Calculez la divergence d'un champ vectoriel 3D
Comment Utiliser
- Entrez les coefficients pour la composante P (coefficient de x, y, z)
- Entrez les coefficients pour la composante Q (coefficient de x, y, z)
- Entrez les coefficients pour la composante R (coefficient de x, y, z)
- Entrez le point (x, y, z) où vous voulez évaluer la divergence
- Cliquez sur calculer pour voir le résultat de la divergence
Qu'est-ce que la Divergence ?
La divergence est un opérateur vectoriel qui mesure l'amplitude d'une source ou d'un puits d'un champ vectoriel en un point donné. En d'autres termes, elle vous indique à quel point un champ vectoriel se 'propage' ou 'converge' en ce point.
Pour un champ vectoriel 3D F(x,y,z) = (P, Q, R), la divergence est définie comme : div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Interprétation Physique
La divergence a des interprétations physiques importantes :
- Divergence positive : Le champ agit comme une source (fluide s'écoulant vers l'extérieur)
- Divergence négative : Le champ agit comme un puits (fluide s'écoulant vers l'intérieur)
- Divergence nulle : Le champ est incompressible (le volume est conservé)
- En dynamique des fluides : la divergence mesure le taux d'expansion ou de compression
- En électromagnétisme : la divergence est liée à la densité de charge (loi de Gauss)
Comment Calculer la Divergence
Pour calculer la divergence d'un champ vectoriel F = (P, Q, R) :
- Prenez la dérivée partielle de P par rapport à x : ∂P/∂x
- Prenez la dérivée partielle de Q par rapport à y : ∂Q/∂y
- Prenez la dérivée partielle de R par rapport à z : ∂R/∂z
- Additionnez ces trois dérivées partielles : div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
Par exemple, si F(x,y,z) = (2x, 3y, 4z), alors div F = 2 + 3 + 4 = 9.
Applications de la Divergence
- Dynamique des fluides : modélisation d'écoulement incompressible
- Électromagnétisme : loi de Gauss et équations de Maxwell
- Transfert de chaleur : analyse du flux de chaleur et distribution de température
- Infographie : simulation de fluides et d'effets de fumée
- Modélisation météorologique : analyse des systèmes de pression atmosphérique
- Ingénierie : analyse des contraintes et déformation des matériaux
Le Théorème de la Divergence
Le théorème de la divergence (également appelé théorème de Gauss) relie le flux d'un champ vectoriel à travers une surface fermée à la divergence du champ dans le volume délimité par la surface :
∫∫∫ (div F) dV = ∫∫ F · n dS
Ce théorème est fondamental en physique et en ingénierie, reliant les propriétés locales (divergence) aux propriétés globales (flux à travers une frontière).
Questions fréquentes
- Que signifie une divergence positive ?
- Une divergence positive signifie que le champ vectoriel agit comme une source en ce point - les vecteurs du champ pointent vers l'extérieur, comme un fluide s'écoulant d'une source. La magnitude vous indique à quel point la source est forte.
- Quelle est la différence entre divergence et rotationnel ?
- La divergence mesure à quel point un champ vectoriel se propage ou converge (produisant un scalaire), tandis que le rotationnel mesure à quel point il tourne (produisant un vecteur). La divergence utilise la notation ∇·F, le rotationnel utilise ∇×F.
- La divergence peut-elle être négative ?
- Oui, une divergence négative indique que le champ agit comme un puits - les vecteurs pointent vers l'intérieur vers ce point. Par exemple, un drain dans un écoulement de fluide aurait une divergence négative.
- Que signifie une divergence nulle ?
- Une divergence nulle signifie que le champ est incompressible ou sans divergence en ce point. La quantité de champ entrant dans un petit volume est égale à la quantité sortant. Ceci est important pour modéliser les fluides incompressibles et les champs magnétiques.