Calculateur d'Espace Colonne – Espace Colonne de Matrice
Calculez l'espace colonne et les vecteurs de base d'une matrice
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez votre matrice avec les lignes séparées par des nouvelles lignes
- Séparez les valeurs de chaque ligne par des espaces
- Cliquez sur calculer pour trouver l'espace colonne
- Examinez les vecteurs de base et le rang
Qu'est-ce que l'Espace Colonne ?
L'espace colonne (ou image) d'une matrice A est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de ses vecteurs colonnes. Il représente tous les vecteurs qui peuvent être obtenus en multipliant la matrice par n'importe quel vecteur.
Si A est une matrice m×n, l'espace colonne est un sous-espace de ℝᵐ. La dimension de ce sous-espace s'appelle le rang de la matrice.
Trouver une Base pour l'Espace Colonne
Pour trouver une base pour l'espace colonne :
- Effectuez la réduction de lignes sur la matrice pour trouver les colonnes pivots
- Les colonnes pivots dans la matrice originale forment une base pour l'espace colonne
- Le nombre de colonnes pivots est égal au rang de la matrice
Propriétés Clés
- Le rang est égal à la dimension de l'espace colonne
- L'espace colonne contient le vecteur nul
- Les opérations sur les lignes ne changent pas la structure de l'espace colonne
- L'espace colonne est le complément orthogonal de l'espace nul à gauche
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre l'espace colonne et l'espace ligne ?
- L'espace colonne est l'étendue des vecteurs colonnes (sous-espace de ℝᵐ), tandis que l'espace ligne est l'étendue des vecteurs lignes (sous-espace de ℝⁿ). Les deux ont la même dimension (le rang), mais existent dans des espaces différents.
- Comment le rang est-il lié à l'espace colonne ?
- Le rang d'une matrice est égal à la dimension de son espace colonne. Il représente le nombre maximum de vecteurs colonnes linéairement indépendants dans la matrice.
- L'espace colonne peut-il être vide ?
- Non, l'espace colonne contient toujours au moins le vecteur nul, ce qui en fait un sous-espace valide. Même une matrice nulle a un espace colonne (contenant uniquement le vecteur nul).