Calculateur d'Espace Nul – Chercheur de Noyau de Matrice
Trouvez l'espace nul et le noyau de toute matrice.
Table des matières
Comment Utiliser
- Définissez le nombre de lignes et colonnes pour votre matrice
- Entrez les valeurs de la matrice dans chaque cellule
- Cliquez sur calculer pour trouver l'espace nul
- Visualisez les vecteurs de base, la dimension et la RREF
Qu'est-ce que l'Espace Nul?
L'espace nul (ou noyau) d'une matrice A est l'ensemble de tous les vecteurs x tels que Ax = 0. C'est un sous-espace du domaine qui est envoyé sur le vecteur nul par la transformation linéaire représentée par A.
L'espace nul est noté N(A) ou ker(A), et sa dimension est appelée la nullité de la matrice.
Comment Trouver l'Espace Nul
Pour trouver l'espace nul:
- Réduisez la matrice en Forme Échelonnée Réduite par Lignes (RREF)
- Identifiez les colonnes pivots (1 principaux) et les colonnes libres
- Exprimez les variables pivots en fonction des variables libres
- Écrivez la solution générale comme combinaison linéaire des vecteurs de base
Théorème du Rang-Nullité
Le Théorème du Rang-Nullité stipule que pour une matrice m×n A: rang(A) + nullité(A) = n, où n est le nombre de colonnes.
- Rang = nombre de colonnes pivots = dimension de l'espace colonne
- Nullité = nombre de variables libres = dimension de l'espace nul
- Si nullité = 0, la seule solution de Ax = 0 est x = 0
Applications
L'espace nul a de nombreuses applications:
- Résoudre des systèmes homogènes d'équations linéaires
- Trouver la solution générale de Ax = b
- Déterminer l'indépendance linéaire des vecteurs
- Comprendre les transformations linéaires
- Infographie et compression de données
Questions fréquentes
- Que signifie un espace nul trivial?
- Un espace nul trivial ne contient que le vecteur nul, ce qui signifie nullité = 0. Cela se produit lorsque la matrice a un rang colonne complet, et la seule solution de Ax = 0 est x = 0.
- Comment les variables libres sont-elles liées à l'espace nul?
- Les variables libres correspondent aux colonnes non-pivots dans la RREF. Chaque variable libre contribue une dimension à l'espace nul, et le nombre de variables libres est égal à la nullité.
- Quelle est la différence entre l'espace nul et l'espace colonne?
- L'espace nul est l'ensemble des vecteurs x où Ax = 0 (dans le domaine). L'espace colonne est l'ensemble de toutes les sorties possibles Ax (dans le codomaine). Ce sont des compléments orthogonaux dans certains contextes.
- Une matrice carrée peut-elle avoir un espace nul non trivial?
- Oui, si la matrice carrée est singulière (déterminant = 0). Un espace nul non trivial signifie que la matrice n'est pas inversible et a des colonnes linéairement dépendantes.