Calculateur d'Indépendance Linéaire – Vérifier l'Indépendance des Vecteurs
Vérifiez si les vecteurs sont linéairement indépendants ou dépendants.
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez chaque vecteur sur une ligne séparée avec les composantes séparées par des virgules ou des espaces
- Par exemple : 1, 2, 3 sur une ligne et 4, 5, 6 sur la suivante
- Cliquez sur calculer pour déterminer si les vecteurs sont linéairement indépendants
- Examinez le rang, le déterminant (pour les matrices carrées) et la RREF
Qu'est-ce que l'Indépendance Linéaire ?
Un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant si aucun vecteur de l'ensemble ne peut s'écrire comme une combinaison linéaire des autres. De manière équivalente, la seule solution à c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0 est lorsque tous les coefficients c₁, c₂, ..., cₙ sont nuls.
S'il existe au moins une combinaison non triviale (certains coefficients sont non nuls), les vecteurs sont linéairement dépendants.
Comment Vérifier l'Indépendance Linéaire
- Formez une matrice avec les vecteurs comme lignes (ou colonnes)
- Appliquez l'élimination de Gauss pour réduire à la forme échelonnée
- Comptez le nombre de lignes non nulles (le rang)
- Si le rang est égal au nombre de vecteurs, ils sont linéairement indépendants
Pour les matrices carrées, vous pouvez aussi vérifier le déterminant : si det ≠ 0, les vecteurs sont indépendants.
Applications de l'Indépendance Linéaire
- Trouver des bases pour les espaces vectoriels
- Résoudre des systèmes d'équations linéaires
- Déterminer si une transformation est inversible
- Traitement du signal et compression de données
- Sélection de caractéristiques en apprentissage automatique
Questions fréquentes
- Que signifie si les vecteurs sont linéairement dépendants ?
- Les vecteurs linéairement dépendants contiennent une redondance—au moins un vecteur peut s'exprimer comme une combinaison des autres. Cela signifie qu'ils ne couvrent pas autant de dimensions qu'il y a de vecteurs.
- Plus de vecteurs que la dimension peuvent-ils être indépendants ?
- Non. Dans un espace à n dimensions, au plus n vecteurs peuvent être linéairement indépendants. Tout ensemble avec plus de n vecteurs doit être dépendant.
- Quelle est la relation entre le rang et l'indépendance ?
- Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes. Si vous avez k vecteurs et que le rang est k, tous les vecteurs sont indépendants.