Calculateur d'Inverse Multiplicatif Modulo – Arithmétique Modulaire
Trouvez l'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre.
Comment Utiliser
- Entrez le nombre (a) dont vous voulez trouver l'inverse
- Entrez le module (n)
- Cliquez sur calculer pour trouver l'inverse multiplicatif
- L'inverse existe seulement si pgcd(a, n) = 1
Qu'est-ce qu'un Inverse Multiplicatif Modulo?
L'inverse multiplicatif d'un nombre 'a' modulo 'n' est un nombre 'x' tel que (a × x) ≡ 1 (mod n). En d'autres termes, quand vous multipliez 'a' par son inverse 'x' et divisez par 'n', le reste est 1.
Par exemple, l'inverse multiplicatif de 3 modulo 7 est 5, car 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7).
Quand l'Inverse Existe-t-il?
L'inverse multiplicatif de 'a' modulo 'n' existe si et seulement si 'a' et 'n' sont premiers entre eux, c'est-à-dire que leur plus grand commun diviseur (PGCD) est 1.
- Si pgcd(a, n) = 1, l'inverse existe et est unique modulo n
- Si pgcd(a, n) > 1, aucun inverse n'existe
- Pour un module premier p, chaque nombre non nul a un inverse
Algorithme d'Euclide Étendu
Ce calculateur utilise l'Algorithme d'Euclide Étendu pour trouver l'inverse multiplicatif. L'algorithme trouve des entiers x et y tels que ax + ny = pgcd(a, n). Quand pgcd(a, n) = 1, x est l'inverse multiplicatif.
Applications
Les inverses multiplicatifs modulaires sont essentiels dans de nombreux domaines:
- Chiffrement et déchiffrement RSA
- Résolution de congruences linéaires
- Théorème des Restes Chinois
- Protocoles cryptographiques
- Codes correcteurs d'erreurs
Questions fréquentes
- Pourquoi mon nombre n'a-t-il pas d'inverse?
- Un inverse multiplicatif modulo n existe seulement quand le nombre et n sont premiers entre eux (leur PGCD est 1). S'ils partagent un facteur commun supérieur à 1, aucun inverse n'existe.
- Comment est-ce utilisé dans le chiffrement RSA?
- Dans RSA, la clé privée d est l'inverse multiplicatif de l'exposant public e modulo φ(n). Cette relation permet de déchiffrer les messages chiffrés avec la clé publique.
- Et si mon nombre est négatif?
- Le calculateur gère les nombres négatifs en les convertissant d'abord en leur équivalent positif modulo n. Par exemple, -3 mod 7 = 4, donc trouver l'inverse de -3 mod 7 revient à trouver l'inverse de 4 mod 7.
- L'inverse est-il toujours unique?
- L'inverse est unique modulo n. Bien qu'il y ait une infinité de nombres x satisfaisant (a × x) ≡ 1 (mod n), ils diffèrent tous par des multiples de n et sont équivalents en arithmétique modulaire.