Calculateur de Linéarisation – Trouver l'Approximation Linéaire
Trouvez l'approximation linéaire d'une fonction en un point.
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez votre fonction en utilisant la notation standard (ex., x^2, sin(x), exp(x))
- Spécifiez le nom de la variable (par défaut x)
- Entrez le point où vous voulez linéariser la fonction
- Cliquez sur calculer pour obtenir l'approximation linéaire
Qu'est-ce que la Linéarisation ?
La linéarisation est le processus d'approximation d'une fonction près d'un point en utilisant sa droite tangente. L'approximation linéaire L(x) au point a est donnée par : L(x) = f(a) + f'(a)(x - a), où f(a) est la valeur de la fonction et f'(a) est la dérivée au point a.
Cette approximation fonctionne mieux pour les valeurs de x proches de a. Plus x est éloigné de a, moins l'approximation est précise.
La Formule de Linéarisation
- L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
- f(a) est la coordonnée y du point sur la courbe
- f'(a) est la pente de la droite tangente
- (x - a) représente la distance horizontale depuis le point
Applications de la Linéarisation
- Approximer des fonctions complexes avec des fonctions linéaires plus simples
- Estimation d'erreurs dans les mesures
- Physique : approximations des petits angles (sin(θ) ≈ θ)
- Ingénierie : analyser des systèmes près des points d'équilibre
- Économie : analyse marginale
Questions fréquentes
- Quand la linéarisation est-elle la plus précise ?
- La linéarisation est la plus précise quand x est très proche du point a. L'erreur d'approximation augmente à mesure que vous vous éloignez de a, surtout pour les fonctions à forte courbure.
- Quelle est la différence entre linéarisation et série de Taylor ?
- La linéarisation est le polynôme de Taylor du premier ordre—elle n'utilise que la valeur de la fonction et la première dérivée. La série de Taylor peut inclure des termes d'ordre supérieur pour une meilleure précision sur des intervalles plus grands.
- Puis-je linéariser n'importe quelle fonction ?
- Vous pouvez linéariser toute fonction qui est dérivable au point d'intérêt. Si la fonction a une discontinuité ou un coin à ce point, la linéarisation n'est pas possible là.