Calculateur de la Méthode de Newton – Algorithme de Recherche de Racines
Trouvez les racines des fonctions en utilisant l'itération Newton-Raphson.
Comment Utiliser
- Entrez la fonction f(x) en utilisant x comme variable
- Entrez la dérivée f'(x) de la fonction
- Fournissez une estimation initiale proche de la racine attendue
- Définissez le nombre maximum d'itérations et la tolérance
- Cliquez sur calculer pour voir l'approximation itérative
Qu'est-ce que la Méthode de Newton?
La méthode de Newton, également connue sous le nom de méthode de Newton-Raphson, est une technique numérique puissante pour trouver les racines d'une fonction. Elle utilise l'idée qu'une fonction continue et différentiable peut être approximée par une ligne droite tangente à celle-ci.
La formule d'itération est: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ), où f(x) est la fonction et f'(x) est sa dérivée.
Comment Ça Fonctionne?
En partant d'une estimation initiale x₀, la méthode améliore répétitivement l'approximation:
- Évaluez la fonction f(xₙ) au point actuel
- Évaluez la dérivée f'(xₙ) au point actuel
- Calculez l'approximation suivante: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
- Répétez jusqu'à ce que le changement soit inférieur à la tolérance
Conditions de Convergence
La méthode de Newton converge quadratiquement quand:
- L'estimation initiale est suffisamment proche de la racine
- La fonction est continûment différentiable
- La dérivée est non nulle à la racine
- La fonction a une racine simple (multiplicité 1)
La méthode peut échouer ou diverger si la dérivée est nulle, l'estimation initiale est mauvaise, ou la fonction a un comportement complexe près de la racine.
Applications
La méthode de Newton est largement utilisée dans:
- Trouver des racines carrées et des racines n-ièmes
- Résoudre des équations non linéaires
- Problèmes d'optimisation (trouver des points critiques)
- Graphiques informatiques et simulations physiques
- Calculs financiers et ingénierie
Questions fréquentes
- Comment entrer la fonction?
- Utilisez 'x' comme variable. Les opérations supportées incluent: +, -, *, /, ^ (puissance), sqrt, sin, cos, tan, log, exp. Par exemple, 'x^3 - 2*x + 1' ou 'sin(x) - x/2'.
- Que faire si la méthode ne converge pas?
- Essayez une estimation initiale différente plus proche de la racine attendue, augmentez le nombre d'itérations, ou vérifiez si la dérivée est nulle près de votre estimation. Certaines fonctions peuvent nécessiter un traitement spécial.
- Pourquoi dois-je entrer la dérivée?
- La méthode de Newton nécessite la dérivée pour calculer la ligne tangente à chaque point. La formule xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ) utilise la dérivée pour déterminer la direction et la taille du pas.
- Quelle tolérance dois-je utiliser?
- Une tolérance de 0.0001 (10⁻⁴) convient à la plupart des applications. Pour une plus grande précision, utilisez des valeurs plus petites comme 10⁻⁸. La tolérance détermine quand l'itération s'arrête en fonction du changement entre les approximations successives.