Calculateur de Nombres Complexes – Additionner, Soustraire, Multiplier, Diviser
Calculez les opérations sur nombres complexes avec magnitude et phase
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez les parties réelle et imaginaire du premier nombre complexe
- Sélectionnez l'opération (additionner, soustraire, multiplier ou diviser)
- Entrez les parties réelle et imaginaire du deuxième nombre complexe
- Cliquez sur calculer pour voir le résultat avec magnitude et phase
Que sont les Nombres Complexes ?
Un nombre complexe est un nombre qui peut être exprimé sous la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels, et i est l'unité imaginaire satisfaisant i² = -1. La partie réelle est 'a' et la partie imaginaire est 'b'.
Les nombres complexes étendent le concept de lignes numériques unidimensionnelles à un plan complexe bidimensionnel utilisant l'axe horizontal pour la partie réelle et l'axe vertical pour la partie imaginaire.
Opérations sur les Nombres Complexes
Les opérations sur les nombres complexes suivent ces règles :
- Addition : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- Soustraction : (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
- Multiplication : (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Division : (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)
Propriétés Clés
- Magnitude (module) : |z| = √(a² + b²), la distance depuis l'origine
- Argument (phase) : arg(z) = atan2(b, a), l'angle depuis l'axe réel positif
- Conjugué : z* = a − bi, réflexion sur l'axe réel
- Formule d'Euler : e^(iθ) = cos(θ) + i·sin(θ)
Applications
- Génie électrique : analyse de circuits AC et impédance
- Traitement du signal : transformées de Fourier et analyse de fréquence
- Mécanique quantique : fonctions d'onde et amplitudes de probabilité
- Théorie du contrôle : fonctions de transfert et stabilité des systèmes
- Dynamique des fluides : écoulement potentiel et cartographie conforme
Questions fréquentes
- Qu'est-ce que l'unité imaginaire i ?
- L'unité imaginaire i est définie comme la racine carrée de -1. Bien qu'aucun nombre réel ne satisfasse i² = -1, l'introduction de i nous permet de travailler avec les racines carrées de nombres négatifs et de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions réelles.
- Comment divise-t-on les nombres complexes ?
- Pour diviser des nombres complexes, multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cela élimine la partie imaginaire dans le dénominateur, laissant un nombre réel par lequel vous pouvez ensuite diviser.
- Quelle est la différence entre magnitude et argument ?
- La magnitude (ou module) est la distance du nombre complexe depuis l'origine dans le plan complexe. L'argument (ou phase) est l'angle formé avec l'axe réel positif. Ensemble, ils forment la représentation polaire d'un nombre complexe.