Calculateur de Produit Vectoriel – Produit Croisé
Calculez le produit vectoriel de deux vecteurs 3D
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez les composantes x, y et z du premier vecteur
- Entrez les composantes x, y et z du deuxième vecteur
- Cliquez sur calculer pour voir le résultat du produit vectoriel
- Visualisez le vecteur résultant et sa magnitude
Qu'est-ce que le Produit Vectoriel ?
Le produit vectoriel (également appelé produit croisé) est une opération binaire sur deux vecteurs dans l'espace tridimensionnel. Il produit un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs d'entrée, avec une magnitude égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs.
Formule
Pour les vecteurs A = (a₁, a₂, a₃) et B = (b₁, b₂, b₃) :
A × B = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)
Propriétés du Produit Vectoriel
- Anti-commutatif : A × B = -(B × A)
- Distributif : A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
- Non associatif : A × (B × C) ≠ (A × B) × C
- Résultat perpendiculaire : Le résultat est perpendiculaire aux deux vecteurs d'entrée
- Zéro pour vecteurs parallèles : Si A et B sont parallèles, A × B = 0
- Magnitude : |A × B| = |A| |B| sin(θ), où θ est l'angle entre les vecteurs
Applications Réelles
Physique
- Calcul du couple (τ = r × F)
- Trouver la force magnétique (F = q(v × B))
- Moment angulaire (L = r × p)
- Déterminer les axes de rotation
Ingénierie et Graphiques Informatiques
- Modélisation et rendu 3D
- Calculs de normales de surface
- Détection de collision
- Robotique et planification de mouvement
- Développement de jeux
Mathématiques
- Trouver des vecteurs perpendiculaires
- Calculer les aires de parallélogrammes
- Déterminer les équations de plans
- Opérations d'espaces vectoriels
Comment Calculer le Produit Vectoriel
Pour calculer A × B où A = (a₁, a₂, a₃) et B = (b₁, b₂, b₃) :
- Composante X : a₂b₃ - a₃b₂
- Composante Y : a₃b₁ - a₁b₃
- Composante Z : a₁b₂ - a₂b₁
Exemple : A = (1, 2, 3) et B = (4, 5, 6)
- X = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3
- Y = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6
- Z = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3
Résultat : A × B = (-3, 6, -3)
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel ?
- Le produit scalaire produit un scalaire (un seul nombre) et mesure dans quelle mesure deux vecteurs pointent dans la même direction. Le produit vectoriel produit un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs d'entrée et mesure l'aire du parallélogramme qu'ils forment.
- Pourquoi le produit vectoriel n'est-il défini qu'en 3D ?
- Le produit vectoriel est spécifiquement défini pour les vecteurs 3D car il repose sur les propriétés uniques de l'espace tridimensionnel. Bien qu'il existe des généralisations à d'autres dimensions, l'opération standard de produit vectoriel est intrinsèquement tridimensionnelle.
- Que signifie-t-il si le produit vectoriel est zéro ?
- Si A × B = 0, cela signifie que les vecteurs sont parallèles (pointant dans la même direction ou dans des directions opposées). La magnitude du produit vectoriel est |A| |B| sin(θ), qui est égale à zéro lorsque θ = 0° ou 180°.
- Comment déterminer la direction du produit vectoriel ?
- Utilisez la règle de la main droite : pointez vos doigts dans la direction du premier vecteur, enroulez-les vers le deuxième vecteur, et votre pouce pointe dans la direction du produit vectoriel. Le résultat est perpendiculaire aux deux vecteurs d'entrée.