Calculateur de Projection Orthogonale – Projection Vectorielle
Calculez la projection d'un vecteur sur un autre
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez les composantes x, y et z du vecteur u (le vecteur à projeter)
- Entrez les composantes x, y et z du vecteur v (le vecteur sur lequel projeter)
- Cliquez sur calculer pour voir le résultat de la projection
- Visualisez le vecteur projection, la magnitude et la projection scalaire
Qu'est-ce que la Projection Orthogonale ?
La projection orthogonale du vecteur u sur le vecteur v est la composante de u qui se trouve dans la direction de v. Géométriquement, c'est l'ombre que u projetterait sur v si la lumière brillait perpendiculairement à v.
La formule de projection est : proj_v(u) = (u · v / |v|²) × v, où u · v est le produit scalaire et |v| est la magnitude de v.
Projection Vectorielle vs Scalaire
- Projection Vectorielle : La composante vectorielle réelle de u dans la direction de v. Elle a une magnitude et une direction.
- Projection Scalaire : La longueur signée de la projection. Positive si u et v pointent dans des directions similaires, négative si opposées.
La projection scalaire est calculée comme : comp_v(u) = u · v / |v|
Applications de la Projection Vectorielle
- Physique : Décomposition des forces en composantes, calculs de travail
- Infographie : Calculs d'ombres, modèles d'éclairage
- Apprentissage Automatique : Extraction de caractéristiques, réduction de dimensionnalité
- Ingénierie : Analyse structurelle, traitement du signal
- Navigation : Trouver la distance le long d'un chemin ou d'une direction
Propriétés de la Projection Orthogonale
- Idempotente : Projeter une projection donne le même résultat
- Linéaire : proj(au + bw) = a·proj(u) + b·proj(w)
- Complément Orthogonal : u - proj_v(u) est perpendiculaire à v
- Borne de Magnitude : |proj_v(u)| ≤ |u|
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre projection vectorielle et scalaire ?
- La projection vectorielle vous donne un vecteur dans la direction de v avec la longueur appropriée. La projection scalaire vous donne juste la longueur signée (un nombre) de cette projection. La projection vectorielle égale la projection scalaire fois le vecteur unitaire dans la direction de v.
- Que se passe-t-il si je projette sur un vecteur nul ?
- Projeter sur un vecteur nul est mathématiquement indéfini car une division par zéro se produit. Notre calculateur renvoie un vecteur nul dans ce cas pour gérer le cas limite avec élégance.
- Comment la projection est-elle liée au produit scalaire ?
- Le produit scalaire u · v égale |u| |v| cos(θ), où θ est l'angle entre les vecteurs. La projection scalaire est u · v / |v| = |u| cos(θ), qui est la composante de u dans la direction de v.
- La projection peut-elle être négative ?
- La projection scalaire peut être négative lorsque l'angle entre les vecteurs est supérieur à 90°. La projection vectorielle pointe dans la direction opposée à v dans ce cas.