Calculateur Règle de Cramer – Résoudre Systèmes Linéaires
Résolvez les systèmes linéaires en utilisant la règle de Cramer avec les déterminants
Comment Utiliser
- Sélectionnez la taille du système (2x2 ou 3x3)
- Entrez les lignes de la matrice de coefficients sur des lignes séparées
- Entrez les valeurs du vecteur constant séparées par des espaces
- Cliquez sur calculer pour trouver la solution en utilisant la règle de Cramer
Qu'est-ce que la Règle de Cramer ?
La règle de Cramer est un théorème mathématique utilisé pour résoudre des systèmes d'équations linéaires avec le même nombre d'équations que d'inconnues. Elle exprime la solution en termes de déterminants de matrices.
Pour un système Ax = b, où A est la matrice de coefficients et b est le vecteur constant, chaque variable xᵢ est calculée comme : xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), où Aᵢ est la matrice A avec sa i-ème colonne remplacée par b.
Quand Utiliser la Règle de Cramer
- Petits systèmes (2x2 ou 3x3) où le calcul manuel est faisable
- Lorsque vous avez besoin de la solution en termes de déterminants
- Analyse théorique et démonstrations
- Systèmes où le déterminant est déjà connu ou facile à calculer
Pour les systèmes plus grands ou le calcul numérique, des méthodes comme l'élimination de Gauss ou la décomposition LU sont plus efficaces.
Limitations
- Ne fonctionne que lorsque la matrice de coefficients est carrée (même nombre d'équations et d'inconnues)
- Nécessite det(A) ≠ 0 (la matrice doit être non singulière)
- Inefficace sur le plan informatique pour les grands systèmes (nécessite n+1 calculs de déterminants)
- Susceptible à l'instabilité numérique avec des matrices mal conditionnées
Exemple : Système 2x2
Résoudre : 2x + y = 8 et x + 3y = 13
det(A) = |2 1; 1 3| = 6 - 1 = 5
x = |8 1; 13 3| / 5 = (24 - 13) / 5 = 11/5 = 2.2
y = |2 8; 1 13| / 5 = (26 - 8) / 5 = 18/5 = 3.6
Questions fréquentes
- Que se passe-t-il si le déterminant est zéro ?
- Si det(A) = 0, la matrice est singulière et le système n'a soit aucune solution soit une infinité de solutions. La règle de Cramer ne peut pas être utilisée dans ce cas.
- La règle de Cramer est-elle efficace pour les grands systèmes ?
- Non. La règle de Cramer nécessite le calcul de n+1 déterminants pour un système n×n, ce qui devient coûteux en calcul. Des méthodes comme l'élimination de Gauss sont beaucoup plus efficaces pour les systèmes plus grands que 3×3.
- La règle de Cramer peut-elle résoudre des systèmes avec plus d'équations que d'inconnues ?
- Non. La règle de Cramer ne s'applique qu'aux systèmes carrés (même nombre d'équations que d'inconnues). Pour les systèmes surdéterminés ou sous-déterminés, utilisez les moindres carrés ou d'autres méthodes.