Calculateur de Séries Entières – Séries de Taylor et Maclaurin
Calculez les développements en séries entières pour les fonctions courantes
Table des matières
Comment Utiliser
- Sélectionnez le type de fonction (exponentielle, sinus, cosinus, ln ou géométrique)
- Entrez le point central (0 pour les séries de Maclaurin)
- Spécifiez le nombre de termes à calculer
- Entrez la valeur à laquelle évaluer la série
- Cliquez sur calculer pour voir le développement de la série et l'approximation
Qu'est-ce qu'une Série Entière ?
Une série entière est une série infinie de la forme Σ aₙ(x-a)ⁿ, où aₙ sont les coefficients, x est la variable et a est le point central. Les séries entières sont utilisées pour représenter des fonctions comme des sommes infinies de termes polynomiaux.
Lorsque le point central a = 0, la série s'appelle série de Maclaurin. Lorsque a ≠ 0, elle s'appelle série de Taylor centrée en a.
Séries Entières Courantes
| Fonction | Série Entière | Convergence |
|---|---|---|
| e^x | Σ xⁿ/n! | Tout x réel |
| sin(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)! | Tout x réel |
| cos(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n)/(2n)! | Tout x réel |
| ln(1+x) | Σ (-1)^(n+1)xⁿ/n | -1 < x ≤ 1 |
| 1/(1-x) | Σ xⁿ | |x| < 1 |
Formule de la Série de Taylor
La série de Taylor d'une fonction f(x) centrée en a est :
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! × (x-a)ⁿ pour n = 0 à ∞
Où f⁽ⁿ⁾(a) est la dérivée n-ième de f évaluée en x = a.
Convergence et Rayon
Chaque série entière a un rayon de convergence R, qui détermine où la série converge :
- La série converge absolument pour |x - a| < R
- La série diverge pour |x - a| > R
- En |x - a| = R, la convergence doit être testée séparément
- R peut être trouvé en utilisant le critère du quotient ou de la racine
Applications des Séries Entières
- Approximation des valeurs de fonctions
- Résolution d'équations différentielles
- Évaluation de limites et d'intégrales
- Analyse numérique et calcul
- Calculs de physique et d'ingénierie
- Traitement du signal et analyse de Fourier
- Infographie et animation
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre les séries de Taylor et de Maclaurin ?
- Une série de Maclaurin est un cas particulier d'une série de Taylor où le point central est 0. Les séries de Taylor peuvent être centrées en n'importe quel point a, tandis que les séries de Maclaurin sont toujours centrées en x = 0.
- Combien de termes ai-je besoin pour une bonne approximation ?
- Cela dépend de la fonction et de la proximité de x au point central. Généralement, plus de termes donnent une meilleure précision. Pour la plupart des usages pratiques, 5-10 termes fournissent de bonnes approximations près du centre.
- Pourquoi la série donne-t-elle parfois des valeurs incorrectes ?
- Les séries entières ne convergent que dans leur rayon de convergence. Par exemple, ln(1+x) ne converge que pour -1 < x ≤ 1, donc évaluer en x = 2 donnera des résultats incorrects.
- Puis-je utiliser des séries entières pour n'importe quelle fonction ?
- Toutes les fonctions n'ont pas de représentations en séries entières. Une fonction doit être infiniment dérivable au point central pour avoir une série de Taylor. Certaines fonctions, comme |x|, n'ont pas de séries entières en certains points.