Calculateur du Test du Rapport – Convergence des Séries
Testez la convergence des séries avec le test du rapport (critère de D'Alembert)
Comment Utiliser
- Sélectionnez le type de série que vous souhaitez analyser
- Entrez les paramètres requis pour votre série
- Cliquez sur calculer pour appliquer le test du rapport
- Visualisez le résultat de convergence et l'explication
Qu'est-ce que le Test du Rapport ?
Le test du rapport (également connu sous le nom de critère de D'Alembert) est une méthode pour déterminer si une série infinie converge ou diverge. Il examine la limite du rapport des termes consécutifs.
Pour une série Σaₙ, calculez L = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ|. Alors : si L < 1, la série converge absolument ; si L > 1, la série diverge ; si L = 1, le test est non concluant.
Quand Utiliser le Test du Rapport
Le test du rapport est particulièrement efficace pour les séries impliquant :
- Factorielles (n!)
- Exponentielles (aⁿ)
- Produits de factorielles et exponentielles
- Séries de puissances (pour trouver le rayon de convergence)
Limitations
Le test du rapport est non concluant (L = 1) pour de nombreuses séries importantes :
- Séries P (Σ1/n^p) - utilisez le test des séries p à la place
- Série harmonique (Σ1/n) - diverge
- Série harmonique alternée - utilisez le test des séries alternées
Exemples Courants
Série géométrique Σrⁿ : L = |r|, converge si |r| < 1
Série factorielle Σ1/n! : L = 0, converge
Série exponentielle Σxⁿ/n! : L = 0, converge pour tout x
Questions fréquentes
- Que signifie quand le test du rapport est non concluant ?
- Quand L = 1, le test du rapport ne peut pas déterminer la convergence. Vous devez utiliser un autre test comme le test de la racine, le test de comparaison, le test intégral ou le test des séries alternées selon la structure de la série.
- Quelle est la différence entre le test du rapport et le test de la racine ?
- Les deux tests examinent des limites similaires mais utilisent des approches différentes. Le test du rapport examine |aₙ₊₁/aₙ|, tandis que le test de la racine examine |aₙ|^(1/n). Ils donnent souvent le même résultat, mais parfois l'un est plus facile à calculer que l'autre.
- Le test du rapport peut-il déterminer la convergence conditionnelle ?
- Non, le test du rapport ne détermine que la convergence absolue. Si L < 1, la série converge absolument. Pour la convergence conditionnelle (converge mais pas absolument), vous avez besoin d'autres tests comme le test des séries alternées.
- Pourquoi le test du rapport fonctionne-t-il ?
- Le test du rapport compare votre série à une série géométrique. Si le rapport des termes consécutifs s'approche d'une valeur inférieure à 1, la série se comporte comme une série géométrique convergente. Si supérieur à 1, elle se comporte comme une série géométrique divergente.