Calculateur de Volume de Parallélépipède – Produit Mixte
Calculez le volume du parallélépipède à partir de trois vecteurs arêtes
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez les composantes x, y et z du vecteur a (première arête)
- Entrez les composantes x, y et z du vecteur b (deuxième arête)
- Entrez les composantes x, y et z du vecteur c (troisième arête)
- Cliquez sur calculer pour voir le résultat du volume
Qu'est-ce qu'un Parallélépipède ?
Un parallélépipède est une figure tridimensionnelle formée par six parallélogrammes. C'est l'analogue 3D d'un parallélogramme. Lorsqu'il est défini par trois vecteurs a, b et c émanant d'un sommet commun, le volume est égal à la valeur absolue du produit mixte.
La formule du volume est : V = |a · (b × c)|, où b × c est le produit vectoriel et a · (b × c) est le produit scalaire de a avec ce résultat.
Le Produit Mixte
Le produit mixte a · (b × c) peut également être calculé comme le déterminant d'une matrice 3×3 avec les vecteurs a, b, c comme lignes (ou colonnes).
- Signification géométrique : Le volume signé du parallélépipède
- Signe : Positif si a, b, c forment un système direct ; négatif si indirect
- Résultat nul : Indique que les trois vecteurs sont coplanaires (dans le même plan)
Applications
- Cristallographie : Calcul des volumes de mailles élémentaires dans les structures cristallines
- Physique : Calcul de flux et de quantités de champ
- Ingénierie : Calculs de volume dans l'analyse structurelle
- Infographie : Détection de collision 3D et calculs spatiaux
- Algèbre Linéaire : Test d'indépendance linéaire des vecteurs
Cas Particuliers
- Boîte rectangulaire : Lorsque les vecteurs sont mutuellement perpendiculaires, volume = |a| × |b| × |c|
- Cube : Lorsque les trois vecteurs ont la même longueur et sont perpendiculaires
- Cas dégénéré : Volume = 0 lorsque les vecteurs sont coplanaires
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre un parallélépipède et une boîte rectangulaire ?
- Une boîte rectangulaire (parallélépipède rectangle) est un cas particulier de parallélépipède où tous les angles sont de 90 degrés. Un parallélépipède général peut avoir des faces qui sont des parallélogrammes non rectangulaires avec des angles obliques.
- Pourquoi le produit mixte peut-il être négatif ?
- Le signe indique l'orientation des trois vecteurs. Une valeur positive signifie qu'ils forment un système de coordonnées direct, tandis qu'une valeur négative signifie indirect. Pour le volume, nous prenons la valeur absolue car le volume est toujours positif.
- Que signifie-t-il si le volume est nul ?
- Un volume nul indique que les trois vecteurs sont coplanaires—ils sont tous dans le même plan. Cela signifie qu'ils n'engendrent pas un espace 3D et ne peuvent pas former un vrai parallélépipède.
- Comment cela est-il lié au déterminant ?
- Le produit mixte est égal au déterminant de la matrice 3×3 formée par les trois vecteurs. Cette connexion est fondamentale en algèbre linéaire et explique pourquoi le déterminant mesure le 'facteur d'échelle de volume' des transformations linéaires.