Calculatrice de Discriminant
Calculez le discriminant et les racines des équations quadratiques
Comment Utiliser
- Entrez le coefficient 'a' (le coefficient de x²)
- Entrez le coefficient 'b' (le coefficient de x)
- Entrez le coefficient 'c' (le terme constant)
- Examinez le type de racines selon le discriminant
Calculez le discriminant et les racines des équations quadratiques
Calculez le discriminant d'une équation quadratique et trouvez ses racines. Méthode : Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a), a ≠ 0. Le signe de Δ classe les racines réelles, doubles ou complexes.
Le discriminant nous indique si les racines sont réelles ou complexes, et si elles sont distinctes ou répétées, sans réellement résoudre l'équation.
Interprétation du Discriminant
| Valeur du Discriminant | Type de Racines | Comportement Graphique |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Deux racines réelles distinctes | La parabole croise l'axe x en deux points |
| Δ = 0 | Une racine réelle répétée | La parabole touche l'axe x en un point (sommet) |
| Δ < 0 | Deux racines complexes conjuguées | La parabole ne croise pas l'axe x |
La Formule Quadratique
Une fois que vous connaissez le discriminant, vous pouvez trouver les racines en utilisant la formule quadratique :
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Où :
- x représente les racines de l'équation
- a, b, c sont les coefficients de ax² + bx + c = 0
- Δ est le discriminant (b² - 4ac)
- ± signifie qu'il y a deux solutions (sauf si Δ = 0)
Comprendre les Racines Complexes
Lorsque le discriminant est négatif, les racines sont des nombres complexes. Les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées : a + bi et a - bi.
Par exemple, si Δ = -16, alors √Δ = 4i, où i est l'unité imaginaire (i² = -1). Les racines seraient calculées comme x = (-b ± 4i) / (2a).
Exemple pratique
- Courbe quadratique: x²−3x+2=0 → Δ=1; x=1,2.
Méthode, exemple, arrondi et limites
Méthode : Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/(2a), a ≠ 0. Le signe de Δ classe les racines réelles, doubles ou complexes.
Exemple résolu : a=1, b=−3, c=2 → Δ=1, x₁=2, x₂=1; a=1, b=0, c=1 → Δ=−4, x=±i.
Arrondi : Les composantes des racines utilisent six chiffres significatifs ; il s’agit de la précision d’affichage, pas d’une exactitude garantie. Les coefficients et le discriminant conservent leur précision calculée.
Limite : Les racines sont des approximations numériques. Un |Δ| calculé ≤ 2 × ε × max(|b²|, |4ac|), avec ε = Number.EPSILON ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶, est traité comme zéro et indiqué comme une racine double. Près de ce seuil, la classification ne prouve pas exactement le nombre de racines. Les calculs non finis sont refusés.
Référence : OpenStax. https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/2-5-quadratic-equations Goldberg, Oracle: https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
Questions fréquentes
- Que signifie un discriminant de zéro ?
- Un discriminant de zéro signifie que l'équation quadratique a exactement une racine réelle (une racine répétée). Graphiquement, cela signifie que la parabole touche simplement l'axe x à son sommet.
- Le discriminant peut-il être négatif ?
- Oui, un discriminant négatif signifie que l'équation quadratique a deux racines complexes conjuguées. La parabole ne croise pas l'axe x dans ce cas.
- Pourquoi le coefficient 'a' doit-il être non nul ?
- Si a = 0, l'équation devient bx + c = 0, qui est linéaire, pas quadratique. Le discriminant est spécifiquement défini pour les équations quadratiques où la puissance la plus élevée est x².
- Comment le discriminant est-il utilisé dans la formule quadratique ?
- Le discriminant apparaît sous la racine carrée dans la formule quadratique : x = (-b ± √Δ) / (2a). Sa valeur détermine si nous prenons la racine carrée d'un nombre positif, zéro ou négatif, ce qui affecte la nature des racines.