Calculatrice de Discriminant
Calculez le discriminant et les racines des équations quadratiques
Comment Utiliser
- Entrez le coefficient 'a' (le coefficient de x²)
- Entrez le coefficient 'b' (le coefficient de x)
- Entrez le coefficient 'c' (le terme constant)
- Cliquez sur Calculer pour voir la valeur du discriminant et les racines
- Examinez le type de racines selon le discriminant
Qu'est-ce que le Discriminant ?
Le discriminant est une valeur calculée à partir des coefficients d'une équation quadratique qui révèle des informations importantes sur les racines de l'équation. Pour l'équation quadratique ax² + bx + c = 0, le discriminant est Δ = b² - 4ac.
Le discriminant nous indique si les racines sont réelles ou complexes, et si elles sont distinctes ou répétées, sans réellement résoudre l'équation.
Interprétation du Discriminant
| Valeur du Discriminant | Type de Racines | Comportement Graphique |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Deux racines réelles distinctes | La parabole croise l'axe x en deux points |
| Δ = 0 | Une racine réelle répétée | La parabole touche l'axe x en un point (sommet) |
| Δ < 0 | Deux racines complexes conjuguées | La parabole ne croise pas l'axe x |
La Formule Quadratique
Une fois que vous connaissez le discriminant, vous pouvez trouver les racines en utilisant la formule quadratique :
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Où :
- x représente les racines de l'équation
- a, b, c sont les coefficients de ax² + bx + c = 0
- Δ est le discriminant (b² - 4ac)
- ± signifie qu'il y a deux solutions (sauf si Δ = 0)
Comprendre les Racines Complexes
Lorsque le discriminant est négatif, les racines sont des nombres complexes. Les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées : a + bi et a - bi.
Par exemple, si Δ = -16, alors √Δ = 4i, où i est l'unité imaginaire (i² = -1). Les racines seraient calculées comme x = (-b ± 4i) / (2a).
Applications dans le Monde Réel
- Physique : Mouvement de projectiles et calculs de trajectoire
- Ingénierie : Analyse structurelle et optimisation
- Économie : Maximisation des profits et minimisation des coûts
- Graphiques informatiques : Courbes paraboliques et animations
- Traitement du signal : Conception et analyse de filtres
- Optique : Calculs de lentilles et de miroirs
- Statistiques : Ajustement de courbes et analyse de régression
Questions fréquentes
- Que signifie un discriminant de zéro ?
- Un discriminant de zéro signifie que l'équation quadratique a exactement une racine réelle (une racine répétée). Graphiquement, cela signifie que la parabole touche simplement l'axe x à son sommet.
- Le discriminant peut-il être négatif ?
- Oui, un discriminant négatif signifie que l'équation quadratique a deux racines complexes conjuguées. La parabole ne croise pas l'axe x dans ce cas.
- Pourquoi le coefficient 'a' doit-il être non nul ?
- Si a = 0, l'équation devient bx + c = 0, qui est linéaire, pas quadratique. Le discriminant est spécifiquement défini pour les équations quadratiques où la puissance la plus élevée est x².
- Comment le discriminant est-il utilisé dans la formule quadratique ?
- Le discriminant apparaît sous la racine carrée dans la formule quadratique : x = (-b ± √Δ) / (2a). Sa valeur détermine si nous prenons la racine carrée d'un nombre positif, zéro ou négatif, ce qui affecte la nature des racines.