Calculatrice d'Intervalle de Convergence
Calculez le rayon et l'intervalle de convergence à partir des limites du test de rapport ou de racine.
Table des matières
Comment Utiliser
- Saisissez le centre de la série a
- Indiquez la limite du test de rapport/racine L
- Choisissez le type de test (rapport ou racine)
- Calculez pour voir le rayon et l'intervalle ouvert ; testez les extrémités séparément
Utiliser les tests du rapport et de la racine
Pour les séries entières Σ c_n (x - a)^n, la limite du test du rapport ou de la racine L donne le rayon de convergence R = 1 / L. Si L = 0, la série converge pour tout x.
- Test du rapport : L = lim |c_{n+1} / c_n|
- Test de la racine : L = lim |c_n|^{1/n}
- Rayon : R = 1 / L (si L ≠ 0)
Pensez à tester les extrémités
L'intervalle de convergence est en général (a - R, a + R). La convergence en x = a ± R dépend de tests séparés, comme une série alternée, une p-série ou des tests de comparaison.
Notez quelles extrémités convergent pour décrire l'intervalle final fermé ou semi-ouvert.
Questions fréquentes
- Que se passe-t-il si L = 0 ?
- L = 0 signifie que les termes décroissent plus vite que toute suite géométrique, donc le rayon est infini et la série converge pour tout x.
- Et si la limite n'existe pas ?
- Les tests de rapport/racine nécessitent une limite. Si elle oscille ou diverge, il faudra un autre test ou analyser des sous-suites.
- Comment traiter les extrémités ?
- Remplacez x = a ± R dans la série et testez séparément. Le résultat peut converger à aucune, une ou aux deux extrémités, ce qui modifie la notation finale de l'intervalle.