Calculatrice de multiplicateur de Lagrange
Optimise un objectif quadratique avec une contrainte linéaire.
Table des matières
Comment Utiliser
- Entre les coefficients quadratiques a, b, c pour f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy.
- Définis la contrainte linéaire d·x + e·y = k.
- Lance le calcul pour résoudre le système de Lagrange pour x, y et λ.
- Consulte le point optimisé et la valeur de l'objectif sur la droite de contrainte.
Fonctionnement du multiplicateur de Lagrange
Les multiplicateurs de Lagrange incorporent la contrainte dans l'objectif en ajoutant λ fois l'équation de contrainte. Les points stationnaires satisfont simultanément les équations du gradient et la contrainte.
- Former le lagrangien L = f(x, y) + λ(d x + e y - k).
- Annuler les dérivées partielles ∂L/∂x, ∂L/∂y et la contrainte.
- Résoudre le système linéaire obtenu pour x, y et λ.
- Évaluer l'objectif au point stationnaire pour juger sa performance sous contrainte.
Hypothèses du modèle dans cette calculatrice
- L'objectif est quadratique en x et y : ax^2 + by^2 + cxy.
- Il y a une seule contrainte d'égalité linéaire d·x + e·y = k.
- Un point stationnaire unique existe lorsque le système linéaire est solvable.
- Si le déterminant est nul, la méthode ne fournit pas de solution unique.
Utilise cette configuration pour une intuition rapide sur les quadratiques contraintes. Des objectifs plus complexes ou plusieurs contraintes nécessitent un solveur symbolique complet.
Questions fréquentes
- Que se passe-t-il si d et e sont tous deux nuls ?
- La contrainte devient dégénérée et ne limite plus l'objectif. Entre au moins un coefficient non nul pour la contrainte afin de trouver un point stationnaire valide.
- Comment savoir si ce point est un minimum ou un maximum ?
- L'outil renvoie le point stationnaire sur la contrainte. Pour le classifier, examine la forme quadratique (par exemple via les valeurs propres de la Hessienne) ou teste des points faisables voisins.
- Puis-je étendre cela à plus de variables ?
- La méthode se généralise, mais cette calculatrice se concentre sur deux variables avec une contrainte linéaire pour rester claire. Pour des systèmes plus grands, applique les mêmes équations de gradient et de contrainte avec des multiplicateurs supplémentaires.