Calculatrice de Système d'Équations Différentielles
Analysez les systèmes d'équations différentielles linéaires avec analyse des valeurs propres
Table des matières
Comment Utiliser
- Entrez le coefficient a₁₁ pour le terme x de la première équation
- Entrez le coefficient a₁₂ pour le terme y de la première équation
- Entrez le coefficient a₂₁ pour le terme x de la deuxième équation
- Entrez le coefficient a₂₂ pour le terme y de la deuxième équation
- Cliquez sur Calculer pour voir les valeurs propres, les vecteurs propres et l'analyse de stabilité
Que sont les Systèmes d'Équations Différentielles ?
Un système d'équations différentielles linéaires décrit comment plusieurs variables changent au fil du temps en relation les unes avec les autres. Le système 2×2 a la forme : dx/dt = a₁₁x + a₁₂y et dy/dt = a₂₁x + a₂₂y.
Ces systèmes apparaissent en physique (oscillateurs couplés), en biologie (modèles prédateur-proie), en économie (dynamique offre-demande) et en ingénierie (systèmes de contrôle).
Analyse des Valeurs Propres
Les valeurs propres déterminent le comportement des solutions. Elles sont trouvées en résolvant det(A - λI) = 0, ce qui donne λ² - (trace)λ + (déterminant) = 0.
| Valeurs Propres | Classification | Comportement |
|---|---|---|
| Réelles, toutes deux négatives | Nœud stable | Les solutions s'approchent de l'origine |
| Réelles, toutes deux positives | Nœud instable | Les solutions s'éloignent de l'origine |
| Réelles, signes opposés | Point de selle | Instable avec directions stables/instables |
| Complexes avec partie réelle négative | Spirale stable | Spirale vers l'origine |
| Complexes avec partie réelle positive | Spirale instable | Spirale s'éloignant de l'origine |
| Imaginaires pures | Centre | Orbites fermées autour de l'origine |
Critères de Stabilité
La stabilité de l'équilibre à l'origine dépend de la trace et du déterminant :
- Si det < 0 : point de selle (instable)
- Si det > 0 et tr < 0 : stable (nœud ou spirale)
- Si det > 0 et tr > 0 : instable (nœud ou spirale)
- Si det > 0 et tr = 0 : centre (neutralement stable)
- Le discriminant tr² - 4det détermine si les valeurs propres sont réelles ou complexes
Applications dans le Monde Réel
- Dynamique des populations : interactions prédateur-proie (équations de Lotka-Volterra)
- Systèmes mécaniques : ressorts et pendules couplés
- Circuits électriques : circuits RLC avec plusieurs boucles
- Réactions chimiques : cinétique de réaction avec plusieurs espèces
- Économie : équilibre du marché et dynamique des prix
- Théorie du contrôle : systèmes de rétroaction et analyse de stabilité
Questions fréquentes
- Que nous disent les valeurs propres sur le système ?
- Les valeurs propres déterminent comment les solutions évoluent dans le temps. Les valeurs propres réelles indiquent une croissance ou une décroissance exponentielle, tandis que les valeurs propres complexes indiquent un comportement oscillatoire. Le signe de la partie réelle détermine la stabilité.
- À quoi servent les vecteurs propres ?
- Les vecteurs propres montrent les directions le long desquelles les solutions se déplacent. Ils forment la base de la solution générale et aident à visualiser le portrait de phase du système.
- Que signifie 'stable' dans ce contexte ?
- Un système stable signifie que les solutions commençant près du point d'équilibre (origine) s'en approcheront à mesure que le temps augmente. Un système instable signifie que les solutions s'éloignent de l'équilibre.
- Cette calculatrice peut-elle gérer les systèmes non linéaires ?
- Non, cette calculatrice est conçue uniquement pour les systèmes linéaires. Les systèmes non linéaires nécessitent une linéarisation autour des points d'équilibre avant que cette analyse puisse être appliquée.